题目内容
【题目】已知直线.
(1)如图1,直接写出的数量关系为 ;
(2)如图2,与
的角平分线所在的直线相交于点
,试探究
与
之间的数量关系,并证明你的结论.
【答案】(1)∠E=∠END-∠BME;(2)∠E+2∠NPM=180°,证明见解析.
【解析】
(1)由AB∥CD,即可得到∠END=∠EFB,再根据∠EFB是△MEF的外角,即可得出∠E=∠EFB-∠BME=∠END-∠BME;
(2)由平行线的性质以及三角形外角性质,即可得到∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA,再根据三角形内角和定理,即可得到∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°,即∠E+2(∠PMA+∠NGB)=180°,即可得到∠E+2∠NPM=180°.
解:(1)如图1,∵AB∥CD,
∴∠END=∠EFB,
∵∠EFB是△MEF的外角,
∴∠E=∠EFB-∠BME=∠END-∠BME,
故答案为:∠E=∠END-∠BME;
(2)如图2,延长NP交AB于G,
∵AB∥CD,
∴∠CNP=∠NGB,
∵∠NPM是△GPM的外角,
∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA,
∵MQ平分∠BME,PN平分∠CNE,
∴∠CNE=2∠CNP,∠FME=2∠BMQ=2∠PMA,
∵AB∥CD,
∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP,
∵△EFM中,∠E+∠FME+∠MFE=180°,
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°,即∠E+2(∠PMA+∠NGB)=180°,
∴∠E+2∠NPM=180°.

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