Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB=2∠PCB.

（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若MN  MC=8，求⊙O的直径.

Answer 1

（1）由题意得到半径OC⊥PC, ∴PC是⊙O的切线（2）AB=4

试题分析（1）：因为同圆中半径相等，得到相等的角，直径所对的圆周角为90°，再由已知，经过等量代换，半径与直线垂直。（2）连接AM，BM.由题意易得△ANC∽△NMA,由已知一边的长为8，根据相似三角形的相似比求之。注意的是；相似比找准对应边。通过角找边容易。1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO . 
∴∠COB=2∠ACO .
又∵∠COB=2∠PCB，
∴∠ACO =∠PCB .  ........................................................ 1分
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO +∠OCB="90" . 
∴∠PCB +∠OCB="90，" 即OC⊥CP. 
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线.  ………………………2分
（2）解：连接MA、MB.（如图）

∵点M是弧AB的中点，
∴∠ACM=∠BAM. 
∵∠AMC=∠AMN，
∴△AMC∽△NMA .  …………………………3分
∴.
∴.
∵=8，
∴. ............................................................. 4分
∵AB是⊙O的直径，点M是弧AB的中点，
∴∠AMB=90，AM=BM=.
∴.   5分
点评：掌握切线判定的条件，即经与圆过一点，且与半径垂直，这个点到圆心的距离等于半径长。本题需要画辅助线，借助M点为中点根据弧弦圆周角的关系求之。