Question

已知关于x的二次函数y=x²﹣2mx+m²+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）；（x₁＜x₂）
（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；
（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．
（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．
（平面内两点间的距离公式）．

Answer 1

（1）AB=
（2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=。理由见解析。
（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由见解析。

分析：（1）先将k=1，m=0分别代入，得出二次函数的解析式为y=x²，直线的解析式为y=x+1，联立，得x²﹣x﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x₁+x₂=1，x₁•x₂=﹣1，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C，证明△ABC是等腰直角三角形，根据勾股定理得出，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB=；同理，当k=1，m=1时，AB=。
（2）当k=1，m为任何值时，联立，得x²﹣（2m+1）x+m²+m﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m﹣1，同（1）可求出AB=；
（3）当m=0，k为任意常数时，联立，得x²﹣kx﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x₁+x₂=k，x₁•x₂=﹣1，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB²=k⁴+5k²+4，OA²+OB²═k⁴+5k²+4，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形。
解：（1）当k=1，m=0时，如图，

由得x²﹣x﹣1=0，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=﹣1，
过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C，
∵直线AB的解析式为y=x+1，
∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形。
∴ 。
同理，当k=1，m=1时，AB=。
（2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=。理由如下：
由，得x²﹣（2m+1）x+m²+m﹣1=0，
∴x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m﹣1。
∴。
（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：
由，得x²﹣kx﹣1=0，
∴x₁+x₂=k，x₁•x₂=﹣1。
∴AB²=（x₁﹣x₂）²+（y₁﹣y₂）²=（x₁﹣x₂）²+（kx₁﹣kx₂）²=（1+k²）（x₁﹣x₂）²
=（1+k²）[（x₁+x₂）²﹣4x₁•x₂]=（1+k²）（4+k²）=k⁴+5k²+4。
又∵OA²+OB²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²=x₁²+x₂²+（kx₁+1）²+（kx₂+1）²
=x₁²+x₂²+（k²x₁²+2kx₁+1）+（k²x₂²+2kx₂+1）=（1+k²）（x₁²+x₂²）+2k（x₁+x₂）+2
=（1+k²）（k²+2）+2k•k+2=k⁴+5k²+4，
∴AB²=OA²+OB²。
∴△AOB为直角三角形。