Question

【题目】如图①，在四边形 ABCD 中，∠A＝x°，∠C＝y°.

（1） ∠ABC＋∠ADC＝ °．（用含 x，y 的代数式表示）

（2） BE、DF 分别为∠ABC、∠ADC 的外角平分线，

①若 BE∥DF，x＝30，则 y＝ ；

②当 y＝2x 时，若 BE 与 DF 交于点 P，且∠DPB＝20°，求 y 的值．

（3） 如图②，∠ABC 的平分线与∠ADC 的外角平分线交于点 Q，则∠Q＝ °．（用含 x，y 的代数式表示）

Answer 1

【答案】（1）（360－x－y）． （2）①30°；x＝40，y＝80；（3）90＋(x－y)

【解析】

（1）利用四边形内角和是360°即可解题,（2）①作出图像,利用四边形的内角和是360°即可解题, ②利用内角和定理和角平分线的性质得到∠PBC＋∠PDC＝(∠NBC＋∠MDC)=(x＋y),再延长 BC，与 DP 交于点 Q,利用三角形的外角的性质即可求解,（3）利用四边形BCDQ和四边形ABCD的内角和是360°,分别表示出两个等式,进行化简整理可得∠A+∠ADC+∠C+2∠1=360°,再利用∠1-∠2=90°-（）°,即可求解.

解：（1）∵四边形ABCD的内角和是360°,

∴∠ABC＋∠ADC＝360°-（∠A+∠B）=（360－x－y）°．

（2）①过点C作CH∥DF,

∵ BE∥DF

∴CH∥BE,∠FDC=∠DCH,∠EBC=∠BCH,

∴∠ABC=180°-2∠CBE,∠ADC=180°-2∠FDC,∠BCD=∠EBC+∠FDC,

∴30°+180°-2∠CBE+∠EBC+∠FDC+180°-2∠FDC=360°,

∴∠EBC+∠FDC=30°,即y=30°,

②由（1）得∠ABC＋∠ADC ＝(360－x－y) °

又∵∠ADC＋∠MDC＝180°，∠ABC＋∠NDC＝180°

∴∠NBC＋∠MDC＝(x＋y)°

∵BE、DF 分别为平分∠ABC、∠ADC

∴∠PBC＝∠NBC，∠PDC＝∠MDC

∴∠PBC＋∠PDC＝(∠NBC＋∠MDC)=(x＋y)

延长 BC，与 DP 交于点 Q,见下图,

∵∠BCD＝∠PDC＋∠DQC,∠DQC＝∠P＋∠QBP（外角性质）

∴∠BCD＝∠P＋∠PBC＋∠PDC

∴y＝20＋(x＋y)，即y－x＝40

又∵y＝2x

∴x＝40，y＝80

（3）如下图,∵∠ABC 的平分线与∠ADC 的外角平分线交于点 Q，

∴∠ABQ=∠CBQ=∠1,

∵四边形BCDQ和四边形ABCD的内角和是360°,

即∠Q+∠2+∠ADC+∠C+∠1=360°,

∠A+∠ADC+∠C+2∠1=360°,

整理得,∠Q=∠A+（∠1-∠2）

∵∠A+∠ADC+∠C+2∠1=360°,

整理得,∠1-∠2=90°-（）°,

∴∠Q=[90＋(x－y)]°