题目内容
【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，P为BA延长线上一点，连接CA、CD、AD，且∠PCA＝∠ADC，CE⊥AB于E，并延长交AD于F．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）求证：
；
（3）若
，
，求PA的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
．
【解析】
（1）如图（见解析），先根据圆周角定理可得
，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得
，然后根据角的和差可得
，最后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）如图（见解析），先根据圆周角定理可得
，从而可得
，再根据相似三角形的判定与性质即可得证；
（3）先根据圆周角定理、直角三角形的性质可得
，再根据相似三角形的判定与性质可得
，从而可得
，又根据圆周角定理、正切三角函数可得
，然后设
，由题（2）的结论可得
，最后根据相似三角形的性质可得
，由此即可得出答案．
（1）如图，连接OC
由圆周角定理得：
，即
，即
又
是⊙O的半径
PC是⊙O的切线；
（2）如图，连接BC
由圆周角定理得：
在
和
中，
即
；
（3）
，即
由圆周角定理得：
又
在
和
中，
，即
或
（不符题意，舍去）
，即
解得
，
设，则
由（2）可知，
，即
又由（2）可知，
，即
解得
或
经检验，是所列方程的根，是所列方程的增根
故PA的长为．
【题目】为宣传普及新冠肺炎防治知识，引导学生做好防控．某校举行了主题为“防控新冠，从我做起”的线上知识竞赛活动，测试内容为20道判断题，每道题5分，满分100分，为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级各抽取了20名参赛学生的成绩．已知抽查得到的八年级的数据如下：80，95，75，75，90，75，80，65，80，85，75，65，70，65，85，70，95，80，75，80．
为了便于分析数据，统计员对八年级数据进行了整理，得到了表一：
成绩等级 | 分数（单位：分） | 学生数 |
D等 | 60＜x≤70 | 5 |
C等 | 70＜x≤80 | a |
B等 | 80＜x≤90 | b |
A等 | 90＜x≤100 | 2 |
九年级成绩的平均数、中位数、优秀率如下：（分数80分以上、不含80分为优秀）
年级 | 平均数 | 中位数 | 优秀率 |
八年级 | 77.5 | c | m% |
九年级 | 76 | 82.5 | 50% |
（1）根据题目信息填空：a＝ ，c＝ ，m＝ ；
（2）八年级小宇和九年级小乐的分数都为80分，请判断小宇、小乐在各自年级的排名哪位更靠前？请简述你的理由；
（3）若九年级共有600人参加参赛，请估计九年级80分以上的人数．
