题目内容

【题目】已知,点C在以AB为直径的半圆上,∠CAB的平分线AD交BC于点D,⊙O经过A、D两点,且圆心O在AB上.
(1)求证:BD是⊙O的切线.
(2)若 ,求⊙O的面积.

【答案】
(1)解:连接OD.

∵AB为直径,

∴∠ACB=90°,

∵OA=OD,

∴∠ODA=∠OAD,

∵AD平分∠CAB,

∴∠OAD=∠CAD,

∴∠ODA=∠CAD,

∴OD∥AC,

∴∠ODB=∠ACB=90°,

∴BD是⊙O的切线.


(2)解:∵

∴AB=4AC,

∵BC2=AB2﹣AC2

∴15AC2=80,

∴AC=

∴AB=4

设⊙O的半径为r,

∵OD∥AC,

∴△BOD∽△BAC,

,解得:r=

∴πr2=π( 2=

∴⊙O的面积为


【解析】(1)连接OD,求出∠CAD=∠OAD=∠ADO,推出OD∥AC,推出OD⊥CB,根据切线判定推出即可;(2)根据勾股定理求出AC= ,AB=4 .设⊙O的半径为r,证△BOD∽△BAC,得出 ,代入求出r即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识,掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2,以及对切线的判定定理的理解,了解切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

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