题目内容
【题目】已知,点C在以AB为直径的半圆上,∠CAB的平分线AD交BC于点D,⊙O经过A、D两点,且圆心O在AB上.
(1)求证:BD是⊙O的切线.
(2)若 ,
,求⊙O的面积.
【答案】
(1)解:连接OD.
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∵AD平分∠CAB,
∴∠OAD=∠CAD,
∴∠ODA=∠CAD,
∴OD∥AC,
∴∠ODB=∠ACB=90°,
∴BD是⊙O的切线.
(2)解:∵ ,
∴AB=4AC,
∵BC2=AB2﹣AC2,
∴15AC2=80,
∴AC= ,
∴AB=4 .
设⊙O的半径为r,
∵OD∥AC,
∴△BOD∽△BAC,
∴
∴ ,解得:r=
∴πr2=π( )2=
,
∴⊙O的面积为 .
【解析】(1)连接OD,求出∠CAD=∠OAD=∠ADO,推出OD∥AC,推出OD⊥CB,根据切线判定推出即可;(2)根据勾股定理求出AC= ,AB=4
.设⊙O的半径为r,证△BOD∽△BAC,得出
,代入求出r即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识,掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2,以及对切线的判定定理的理解,了解切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
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【题目】中华文明,源远流长;中华诗词,寓意深广.为了传承优秀传统文化,我市某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分,为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况,随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩(成绩x取整数,总分100分)作为样本进行整理,得到下列统计图表: 抽取的200名学生海选成绩分组表
组别 | 海选成绩x |
A组 | 50≤x<60 |
B组 | 60≤x<70 |
C组 | 70≤x<80 |
D组 | 80≤x<90 |
E组 | 90≤x<100 |
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)请把图1中的条形统计图补充完整;(温馨提示:请画在答题卷相对应的图上)
(2)在图2的扇形统计图中,记表示B组人数所占的百分比为a%,则a的值为 , 表示C组扇形的圆心角θ的度数为度;
(3)规定海选成绩在90分以上(包括90分)记为“优等”,请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人?