题目内容
【题目】李老师给爱好学习的小兵和小鹏提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．
小兵的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
小鹏的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，先证△GPC≌△ECP，可得：PE=CG，而PD=GF，则PD+PE=CF．
请运用上述中所证明的结论和证明思路完成下列两题：
（1）如图3，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=16，CF=6，求PG+PH的值；
（2）如图4，P是边长为6的等边三角形ABC内任一点，且PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，求PD+PE+PF的值．
【答案】（1）C'B=AB=EQ=8；（2）3
．
【解析】
（1）将三角形BEF的面积分别用
BF（PG+PH）和BFEQ表示，然后求出面积，转化线段之间的关系即可得出答案.
(2)求出三角形ABC的面积，再根据三角形ABC的面积=三个四三角形的面积和进行转化即可得出答案.
解：（1）如图3，过点E作EQ⊥BC于Q，连接BP，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
由折叠可得，∠DEF=∠BEF，
∴∠BFE=∠BEF，
∴BE=BF，
∵PG⊥BE、PH⊥BC，
∴S△BEF=S△BEP+S△BFP=BEPG+BFPH=BF（PG+PH），
∵S△BEF=BFEQ，
∴PG+PH=EQ，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．
∵AD=16，CF=6，
∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=10．
DF=BF=10，CF=6,
即根据勾股定理得DC=8
S△BEF=BFEQ=
BF·DC=40
即BF（PG+PH）=40
所以PG+PH=8
（2）过A作AM⊥BC，连接PA，PB，PC，如图4所示：
∵△ABC为等边三角形的边长为6，AM⊥BC，
∴M为BC的中点，即BM=CM=3，
在Rt△ABM中，AB=6，BM=3，
根据勾股定理得：AM=3
又∵S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP
=PEBC+PFAC+PDAB=AB（PE+PF+PD）=BCAM，
∴（PE+PF+PD）=AM=3．
