题目内容

【题目】问题情景:如图1,ABCD,PAB=130°,PCD=120°,求∠APC的度数.

(1)天天同学看过图形后立即口答出:∠APC=110°,请你补全他的推理依据.

如图2,过点PPEAB

ABCD

PEABCD.(___)

∴∠A+APE=180°.

C+CPE=180°.(___)

∵∠PAB=130°,PCD=120°

∴∠APE=50°,CPE=60°

∴∠APC=APE+CPE=110°.(___)

问题迁移:

(2)如图3,ADBC,当点PA. B两点之间运动时,∠ADP=α,∠BCP=β,求∠CPD与∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由。

(3)(2)的条件下,如果点PA. B两点外侧运动时(P与点A. B. O三点不重合),请你直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系.

【答案】1)平行于同一条直线的两条直线平行;两直线平行同旁内角互补;等量代换;(2)∠CPD =∠α+∠β;(3)∠CPD=∠β∠α,∠CPD=∠α∠β.

【解析】

1)根据平行线的判定与性质填写即可;

2)过PPEADCDE,推出ADPEBC,根据平行线的性质得出∠α=DPE,∠β=CPE,即可得出答案;

3)画出图形(分两种情况①点PBA的延长线上,②点PAB的延长线上),根据平行线的性质得出∠α=DPE,∠β=CPE,即可得出答案.

(1)过点PPEAB

ABCD

PEABCD.(平行于同一条直线的两条直线平行)

∴∠A+APE=180°.

C+CPE=180°.(两直线平行同旁内角互补)

∵∠PAB=130°,PCD=120°

∴∠APE=50°,CPE=60°

∴∠APC=APE+CPE=110°.(等量代换)

故答案为:平行于同一条直线的两条直线平行;两直线平行同旁内角互补;等量代换.

(2)CPD=α+β

理由是:如图3,PPEADCDE

ADBC

ADPEBC

∴∠α=DPE,∠β=CPE

∴∠CPD=DPE+CPE=α+β

(3)PBA延长线时,

PPEADCDE,如图4

(2)可知:∠α=DPE,∠β=CPE

∴∠CPD=βα

PAB延长线时,过PPEADCDE,如图5

(2)可知:∠α=DPE,∠β=CPE

∴∠CPD=αβ.

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