题目内容
【题目】问题情景:如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数.
(1)天天同学看过图形后立即口答出:∠APC=110°,请你补全他的推理依据.
如图2,过点P作PE∥AB,
∵AB∥CD,
∴PE∥AB∥CD.(___)
∴∠A+∠APE=180°.
∠C+∠CPE=180°.(___)
∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,
∴∠APE=50°,∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.(___)
问题迁移:
(2)如图3,AD∥BC,当点P在A. B两点之间运动时,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β,求∠CPD与∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由。
(3)在(2)的条件下,如果点P在A. B两点外侧运动时(点P与点A. B. O三点不重合),请你直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系.
【答案】(1)平行于同一条直线的两条直线平行;两直线平行同旁内角互补;等量代换;(2)∠CPD =∠α+∠β;(3)∠CPD=∠β∠α,∠CPD=∠α∠β.
【解析】
(1)根据平行线的判定与性质填写即可;
(2)过P作PE∥AD交CD于E,推出AD∥PE∥BC,根据平行线的性质得出∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,即可得出答案;
(3)画出图形(分两种情况①点P在BA的延长线上,②点P在AB的延长线上),根据平行线的性质得出∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,即可得出答案.
(1)过点P作PE∥AB,
∵AB∥CD,
∴PE∥AB∥CD.(平行于同一条直线的两条直线平行)
∴∠A+∠APE=180°.
∠C+∠CPE=180°.(两直线平行同旁内角互补)
∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,
∴∠APE=50°,∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.(等量代换)
故答案为:平行于同一条直线的两条直线平行;两直线平行同旁内角互补;等量代换.
(2)∠CPD=∠α+∠β,
理由是:如图3,过P作PE∥AD交CD于E,
∵AD∥BC,
∴AD∥PE∥BC,
∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β;
(3)当P在BA延长线时,
过P作PE∥AD交CD于E,如图4
同(2)可知:∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,
∴∠CPD=∠β∠α;
当P在AB延长线时,过P作PE∥AD交CD于E,如图5
同(2)可知:∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,
∴∠CPD=∠α∠β.
