题目内容
【题目】已知抛物线
经过A（0，-3），B（-1，0），且抛物线对称轴为直线
，E
是抛物线的顶点。
(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标E。
(2)在
轴上是否存在点P，使得
周长最短，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说
明理由。
(3)直线
与抛物线交于C、D两点，Q是直线DC下方抛物线上的一点，是否存在点Q
使得
的面积最大，若存在请求出最大面积，若不存在，请说明理由。
(4)抛物线上是否存在点M，使得
是直角三角形，若存在，直接写出M点坐标，若不
存在，请说明理由。
【答案】(1)y=(x-1)-4,E(1,-4);(2)见解析;(3)见解析;(4)见解析.
【解析】(1)由B,C关于直线
对称，可得C的坐标；用待定系数法可求解析式，
再求顶点坐标；
（2）作A点关于x轴的对称点F（0，3），连接EF交x轴于P点，此时PA+PE最短；
（3）过Q点作QH
轴，交DC于K点，设Q
，K
，
，当QK有最大值时△QDC面积有最大值；
（4）存在，先画出直角三角形再计算即可.
（2）做A点关于x轴的对称点F（0，3），连接EF交x轴于P点，此时PA+PE最短，又因为AE的长是定植，所以此时三角形PAE周长最短，设直线EF为y=kx+b,由题可知：
（3）由题可知：D（-2，5）
过Q点作QH轴，交DC于K点，设Q，K
当QK有最大值时△QDC面积有最大值.
QK=
，
〈0，
所以△QDC面积有最大值为
。
（4）
.
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