Question

【题目】提出问题：

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH；

类比探究：

（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在边AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；

综合运用：

（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）EF=GH（3）

【解析】（1）由正方形的性质可得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．又由∠ADO+∠OAD=90°，可证得∠HAO=∠ADO，继而证得△ABE≌△DAH，可得AE=DH；

（2）将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF，将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；

（3）过点F作FP⊥BC于点P，易证得△AHF∽△CGE，即可求得EC，AF的长，继而求得EF的长，然后由平行线分线段成比例定理，求得，然后分别求出△FOH与△EOG的面积，即可求得答案．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH，

∴∠HAO+∠OAD=90°，

∵AE⊥DH，

∴∠ADO+∠OAD=90°，

∴∠HAO=∠ADO，

∴△ABE≌△DAH（ASA），

∴AE=DH;

（2）EF=GH，理由如下：

将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF，

将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH，

∵EF⊥GH，

∴AM⊥DN，

根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；

（3）解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，

∴∠AHO=∠CGO，

∵FH∥EG，

∴∠FHO=∠EGO，

∴∠AHF=∠CGE，

∴△AHF∽△CGE，

∴，

∵EC=2，

∴AF=1，

过F作FP⊥BC于点P，

根据勾股定理得EF=，

∵FH∥EG，

∴，

根据（2）知EF=GH，

∴FO=HO，

∴，

，

∴阴影部分面积为.