Question

【题目】在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过点A作AD⊥BP于点D，交直线BC于点Q．

（1）如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ；
（2）如图2，当P在线段CA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？（填“成立”或“不成立”）
（3）在（2）的条件下，当∠DBA=度时，存在AQ=2BD，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，

∴∠DAP=∠CBP，

在△ACQ和△BCP中

∴△ACQ≌△BCP（ASA），

∴BP=AQ

（2）成立
（3）22.5°
【解析】（2.）成立，
理由：延长BA交PQ于H，

∵∠ACQ=∠BDQ=90°，∠AQC=∠BQD，
∴∠CAQ=∠DBQ，
在△AQC和△BPC中，
∴△AQC≌△BPC（ASA），
∴AQ=BP，
所以答案是：成立；
（3.）当∠DBA=22.5°时，存在AQ=2BD，
理由：∵∠BAC=∠DBA+∠APB=45°，
∴∠PBA=∠APB=22.5°，
∴AP=AB，
∵AD⊥BP，
∴BP=2BD，
在△PBC与△QAC中， ，
∴△PBC≌△ACQ，
∴AQ=PB，
∴AQ=2BD．
所以答案是：22.5°