题目内容

【题目】如图,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,连接OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,连接AD.

(1)求证:△CDE∽△CAD;

(2)若AB=2,AC=,求AE的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】

试题分析:(1)根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°,则∠B+∠BAD=90°,再根据切线的性质,由AC为⊙O的切线得∠BAD+∠CAD=90°,则∠B=∠CAD,由于∠B=∠ODB,∠ODB=∠CDE,所以∠B=∠CDE,则∠CAD=∠CDE,加上∠ECD=∠DCA,根据三角形相似的判定方法即可得到△CDE∽△CAD;

(2)在Rt△AOC中,OA=1,AC=,根据勾股定理可计算出OC=3,则CD=OC﹣OD=2,然后利用△CDE∽△CAD,根据相似比可计算出CE,再由AE=AC﹣CE可得AE的值.

试题解析:(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠B+∠BAD=90°,∵AC为⊙O的切线,∴BA⊥AC,∴∠BAC=90°,即∠BAD+∠CAD=90°,∴∠B=∠CAD,∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,而∠ODB=∠CDE,∴∠B=∠CDE,∴∠CAD=∠CDE,而∠ECD=∠DCA,∴△CDE∽△CAD;

(2)解:∵AB=2,∴OA=1,在Rt△AOC中,AC=,∴OC==3,∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2,∵△CDE∽△CAD,∴,即,∴CE=AE=AC﹣CE==

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