题目内容
矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示,A、C两点的坐标分别为A(6,0),C(0,-3),直线y=-
x与BC边相交于D点.
(1)求点D的坐标;
(2)若抛物线y=ax2-
x经过点A,试确定此抛物线的表达式;
(3)设(2)中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M,点P为对称轴上一动点,以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似,求符合条件的点P的坐标.
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(1)求点D的坐标;
(2)若抛物线y=ax2-
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(3)设(2)中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M,点P为对称轴上一动点,以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似,求符合条件的点P的坐标.
(1)∵直线y=-
x与BC边相交于D点,知D点纵坐标为-3,
∴代入直线得点D的坐标为(4,-3).(2分)
(2)∵A(6,0)在抛物线上,代入抛物线的表达式得a=
,
∴y=
x2-
x.(4分)
(3)抛物线的对称轴与x轴的交点P1符合条件.
∵OA∥CB,
∴∠P1OM=∠CDO.
∵∠OP1M=∠DCO=90°,
∴Rt△P1OM∽Rt△CDO.(6分)
∵抛物线的对称轴x=3,
∴点P1的坐标为P1(3,0).(7分)
过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2.
∵对称轴平行于y轴,
∴∠P2MO=∠DOC.
∵∠P2OM=∠DCO=90°,
∴Rt△P2MO∽Rt△DOC.(8分)
∴点P2也符合条件,∠OP2M=∠ODC.
∴P1O=CO=3,∠P2P1O=∠DCO=90°,
∴Rt△P2P1O≌Rt△DCO.(9分)
∴P1P2=CD=4.
∵点P2在第一象限,
∴点P2的坐标为P2(3,4),
∴符合条件的点P有两个,分别是P1(3,0),P2(3,4).(11分)
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∴代入直线得点D的坐标为(4,-3).(2分)
(2)∵A(6,0)在抛物线上,代入抛物线的表达式得a=
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∴y=
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(3)抛物线的对称轴与x轴的交点P1符合条件.
∵OA∥CB,
∴∠P1OM=∠CDO.
∵∠OP1M=∠DCO=90°,
∴Rt△P1OM∽Rt△CDO.(6分)
∵抛物线的对称轴x=3,
∴点P1的坐标为P1(3,0).(7分)
过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2.
∵对称轴平行于y轴,
∴∠P2MO=∠DOC.
∵∠P2OM=∠DCO=90°,
∴Rt△P2MO∽Rt△DOC.(8分)
∴点P2也符合条件,∠OP2M=∠ODC.
∴P1O=CO=3,∠P2P1O=∠DCO=90°,
∴Rt△P2P1O≌Rt△DCO.(9分)
∴P1P2=CD=4.
∵点P2在第一象限,
∴点P2的坐标为P2(3,4),
∴符合条件的点P有两个,分别是P1(3,0),P2(3,4).(11分)
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