Question

在如图的直角坐标系中，已知点A（1，0）；B（0，-2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=-

1

2

x²+ax+2经过点C．
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在点P（点C除外）使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）过C作CD⊥x轴，垂足为D，
∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°，
∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，-2），
∴OA=CD=1，OB=AD=2，
∴OD=OA+AD=3，又C为第四象限的点，
∴C的坐标为（3，-1）；

（2）①∵抛物线y=-

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2

x²+ax+2经过点C，且C（3，-1），
∴把C的坐标代入得：-1=-

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2

+3a+2，解得：a=

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2

，
则抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

1

2

x+2；
②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，
（i）若以AB为直角边，点A为直角顶点，
则延长CA至点P₁使得P₁A=CA，得到等腰直角三角形ABP₁，过点P₁作P₁M⊥x轴，如图所示，

∵AP₁=CA，∠MAP₁=∠CAD，∠P₁MA=∠CDA=90°，
∴△AMP₁≌△ADC，
∴AM=AD=2，P₁M=CD=1，
∴P₁（-1，1），经检验点P₁在抛物线y=-

1

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x²+

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2

x+2上；
（ii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP₂⊥BA，且使得BP₂=AB，
得到等腰直角三角形ABP₂，过点P₂作P₂N⊥y轴，如图，

同理可证△BP₂N≌△ABO，
∴NP₂=OB=2，BN=OA=1，
∴P₂（-2，-1），经检验P₂（-2，-1）也在抛物线y=-

1

2

x²+

1

2

x+2上；
（iii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP₃⊥BA，且使得BP₃=AB，
得到等腰直角三角形ABP₃，过点P₃作P₃H⊥y轴，如图，

同理可证△BP₃H≌△BAO，
∴HP₃=OB=2，BH=OA=1，
∴P₃（2，-3），经检验P₃（2，-3）不在抛物线y=-

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2

x²+

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2

x+2上；
则符合条件的点有P₁（-1，1），P₂（-2，-1）两点．