题目内容

如图,Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片,点O与原点重合,点A在x轴上,点B在y轴上,OB=
3
,∠BAO=30度.将Rt△AOB折叠,使BO边落在BA边上,点O与点D重合,折痕为BC.
(1)求直线BC的解析式;
(2)求经过B,C,A三点的抛物线y=ax2+bx+c的解析式;若抛物线的顶点为M,试判断点M是否在直线BC上,并说明理由.
(1)∵∠OBC=∠DBC=
1
2
∠OBA=
1
2
×(90°-30°)=30°
∴在Rt△COB中,OC=OB•tan30°=
3
×
3
3
=1
∴点C的坐标为(1,0)(2分)
又点B的坐标为(0,
3

∴设直线BC的解析式为y=kx+
3

∴0=k+
3

∴k=-
3

则直线BC的解析式为:y=-
3
x+
3
;(4分)

(2)∵在Rt△AOB中,OA=
OB
tan30°
=
3
÷
3
3
=3
∴A(3,0),
又∵B(0,
3
),C(1,0)
0=9a+3b+c
3
=c
0=a+b+c
(7分)
解之得:a=
3
3
,b=-
4
3
3
,c=
3

∴所求抛物线的解析式为y=
3
3
x2-
4
3
3
x+
3
(8分)
配方得:y=
3
3
(x-2)2-
3
3

∴顶点为M(2,-
3
3
)
(9分)
把x=2代入y=-
3
x+
3
,得:y=-
3
≠-
3
3

∴顶点M不在直线BC上.(10分)
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