Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F
（1）求证：BF=AD+CF；
（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）先作AD与EF的延长线，结合已知条件和三角形的相似性质，得出△NDE≌△FCE，然后由平行四边形的性质及判定得出结论．
（2）根据角平分线的性质得出∠1=∠2，再由AB∥EF，得出∠1=∠BEF，∠BEF=∠2，EF=BF，EF=BF=

AD+BC

2

，从而得到结论．

解答：（1）证明：
证法一：如图（1），延长AD交FE的延长线于N
∵AD∥BC，∠C=90°
∴∠NDE=∠FCE=90°
又∵E为CD的中点，
∴DE=EC，
∵∠DEN=∠FEC，
在△NDE和△FCE

∠NDE=∠FCE ED=CE ∠DEN=∠CEF

，
∴△NDE≌△FCE（ASA）
∴DN=CF
∵AB∥FN，AN∥BF，
∴四边形ABFN是平行四边形
∴BF=AD+DN=AD+FC

证法二：如图（2），过点D作DN∥AB交BC于N
∵AD∥BN，AB∥DN，
∴AD=BN，
∵EF∥AB，
∴DN∥EF
∴△CEF∽△CDN
∴

CE

DC

=

CF

CN

∵

CE

DC

=

1

2

，
∴

CF

CN

=

1

2

，即NF=CF
∴BF=BN+NF=AD+FC

（2）解：∵AB∥EF，
∴∠1=∠BEF，
∵∠1=∠2，
∴∠BEF=∠2，
∴EF=BF，
∵BF=BN+NF=AD+CF，
∴EF=BF=AD+CF=AD+BC-BF=1+7-BF，
∴2BF=8，
∴BF=4，
∴EF=4．
故EF的长为4．

点评：本题考查三角形的相似性质、平行四边形的性质及判定以及角平分线的性质的综合运用．