Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C在圆O上，BE⊥CD垂足为E，CB平分∠ABE，连接BC

（1）求证：CD为⊙O的切线；

（2）若cos∠CAB＝，CE＝，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AD=．

【解析】

（1）连接OC，根据等边对等角，以及角平分线的定义，即可证得∠OCB＝∠EBC，则OC∥BE，从而证得OC⊥CD，即CD是⊙O的切线；

（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质即可得到结论．

证明：（1）连接OC．

∵OC＝OB，

∴∠ABC＝∠OCB，

又∵∠EBC＝∠ABC，

∴∠OCB＝∠EBC，

∴OC∥BE，

∵BE⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）设AB＝x，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴直角△ABC中，AC＝ABcos∠CAB＝，

∴BC＝＝＝x，

∵∠BCE+∠BCO＝∠CAB+∠ABC＝90°，

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC，

∴∠CAB＝∠BCE，

∵∠E＝∠ACB＝90°，

∴△ACB∽△CEB，

∴＝，

∴ ＝ ，

∴x＝，

∴AB＝，BC＝5，

∵△ACB∽△CEB，

∴∠CAB =∠ECB= cos∠CAB=

∴BE＝2，

∵OC∥BE，

∴△DOC∽△DBE，

∴＝，

∴＝，

∴AD＝．