题目内容

【题目】如图,在RtABC中,ACB=90°,AC=8,BC=6,CDAB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止.设运动时间为t秒.

(1)求线段CD的长;

(2)当t为何值时,CPQABC相似?

(3)当t为何值时,CPQ为等腰三角形?

【答案】(1)4.8.(2)t为3或(3)当t为2.4秒或秒或秒时,CPQ为等腰三角形.

【解析】

试题分析:(1)先根据勾股定理求出AB的长,再由三角形的面积公式即可得出结论;

(2)先用t表示出DP,CQ,CP的长,再分PQCD与PQAC两种情况进行讨论;

(3)根据题意画出图形,分CQ=CP,PQ=PC,QC=QP三种情况进行讨论.

解:(1)∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,

AB=10

CDAB

SABC=BCAC=ABCD.

CD===4.8.

线段CD的长为4.8.

(2)由题可知有两种情形,

设DP=t,CQ=t.则CP=4.8﹣t.

①当PQCD时,如图a

∵△QCP∽△△ABC

=,即=

t=3

②当PQAC,如图b.

∵△PCQ∽△ABC

=,即=,解得t=

当t为3或时,CPQ△△ABC相似;

(3)①若CQ=CP,如图1,

则t=4.8﹣t.

解得:t=2.4.

②若PQ=PC,如图2所示.

PQ=PC,PHQC

QH=CH=QC=

∵△CHP∽△BCA

=

=,解得t=

③若QC=QP,

过点Q作QECP,垂足为E,如图3所示.

同理可得:t=

综上所述:当t为2.4秒或秒或秒时,CPQ为等腰三角形.

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