Question

【题目】如图，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于P点，NP平分∠MNQ．
（1）求证：NQ⊥PQ；
（2）若⊙O的半径R=2，NP= ，求NQ的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结OP，如图，

∴直线PQ与⊙O相切，

∴OP⊥PQ，

∵OP=ON，

∴∠ONP=∠OPN，

∵NP平分∠MNQ，

∴∠ONP=∠QNP，

∴∠OPN=∠QNP，

∴OP∥NQ，

∴NQ⊥PQ

（2）解：连结PM，如图，

∵MN是⊙O的直径，

∴∠MPN=90°，

∵NQ⊥PQ，

∴∠PQN=90°，

而∠MNP=∠QNP，

∴Rt△NMP∽Rt△NPQ，

∴ = ，即 = ，

∴NQ=3．

【解析】（1）连结OP，根据切线的性质由直线PQ与⊙O相切得OP⊥PQ，再由OP=ON得到∠ONP=∠OPN，由NP平分∠MNQ得到∠ONP=∠QNP，利用等量代换得∠OPN=∠QNP，根据平行线的判定得OP∥NQ，所以NQ⊥PQ；（2）连结PM，根据圆周角定理由MN是⊙O的直径得到∠MPN=90°，易证得Rt△NMP∽Rt△NPQ，然后利用相似比可计算出NQ的长．