Question

抛物线y=（x-3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．

（1）求点B及点D的坐标．
（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．
①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标．
②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=（x-3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），
∴当y=0时，（x-3）（x+1）=0，
解得x=3或-1，
∴点B的坐标为（3，0）．
∵y=（x-3）（x+1）=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点D的坐标为（1，-4）；

（2）①如右图．
∵抛物线y=（x-3）（x+1）=x²-2x-3与与y轴交于点C，
∴C点坐标为（0，-3）．
∵对称轴为直线x=1，
∴点E的坐标为（1，0）．
连接BC，过点C作CH⊥DE于H，则H点坐标为（1，-3），
∴CH=DH=1，
∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°，
∴CD=

2

，CB=3

2

，△BCD为直角三角形．
分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．
∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，
∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，
∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，
∴∠CDB=∠QCO，
∴△BCD∽△QOC，
∴

OC

OQ

=

CD

CB

=

1

3

，
∴OQ=3OC=9，即Q（-9，0）．
∴直线CQ的解析式为y=-

1

3

x-3，
直线BD的解析式为y=2x-6．
由方程组

y=- 1 3 x-3 y=2x-6

，解得

x= 9 7 y=- 24 7

．
∴点P的坐标为（

9

7

，-

24

7

）；

②（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．
若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴

CN

MN

=

BE

DE

=

1

2

，
∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=∠DCF=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=

2

a，
∴MF=MN+NF=3a，
∴MG=FG=

3 2

2

a，
∴CG=FG-FC=

2

2

a，
∴M（

3 2

2

a，-3+

2

2

a）．
代入抛物线y=（x-3）（x+1），解得a=

7 2

9

，
∴M（

7

3

，-

20

9

）；
若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴

CN

MN

=

BE

DE

=

1

2

，
∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=

2

a，
∴MF=MN-NF=a，
∴MG=FG=

2

2

a，
∴CG=FG+FC=

3 2

2

a，
∴M（

2

2

a，-3+

3 2

2

a）．
代入抛物线y=（x-3）（x+1），解得a=5

2

，
∴M（5，12）；
（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．
∵∠CMN=∠BDE＜45°，
∴∠MCN＞45°，
而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，
∴点M不存在．
综上可知，点M坐标为（

7

3

，-

20

9

）或（5，12）．