题目内容
【题目】涌泉镇是中国无核蜜桔之乡，已知某蜜桔种植大户冯大爷的蜜桔成本为2元/千克，如果在未来90天蜜桔的销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数关系式为p=
，且蜜桔的日销量y（千克）与时间t（天）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：
时间t/天 | 1 | 10 | 20 | 40 | 70 | 90 |
日销售量y/千克 | 105 | 150 | 200 | 300 | 450 | 550 |
（1）求y与t之间的函数表达式；
（2）在未来90天的销售中，预测哪一天的日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？
（3）在实际销售的后50天中，冯大爷决定每销售1千克蜜桔就捐赠n元利润（n＜5）给留守儿童作为助学金，销售过程中冯大爷发现，恰好从第51天开始，和前一天相比，扣除捐赠后的日销售利润逐日减少，请求出n的取值范围．
【答案】（1）y=5t+100；（2）前60天利润最大，最大利润为3200元；（3）n的取值范围为1.9≤n＜5．
【解析】
（1）运用待定系数法求出函数解析式；（2）设第x天的销售利润为w元．当1≤t≤40时，由题意w=（12-2）（5t+100）=50t+1000；当t=40时w最大值为3000元；当41≤t≤90时，w=（5t+100）（-
t+16-2）=-
t2+60t+1400，再求函数最值；（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元．由题意m=（5t+100）（-t+16-2）-（5t+100）n=-t2+（60-5n）t+1400-100n，根据实际得49.5≤60-5n＜50.5，1.9＜n≤2.1，可进一步求出n的取值范围.
解：（1）设y=kt+b，把t=1，y=105；t=10，y=150代入得到：
，
解得：
，
∴y=5t+100；
（2）设第x天的销售利润为w元．
当1≤t≤40时，由题意w=（12-2）（5t+100）=50t+1000；
当t=40时w最大值为3000元；
当41≤t≤90时，w=（5t+100）（-t+16-2）=-t2+60t+1400，
∵对称轴t=60，a=-＜0，
∴在对称轴左侧w随x增大而增大，
∴t=60时，w最大值=3200，
综上所述前60天利润最大，最大利润为3200元．
（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元．
由题意m=（5t+100）（-t+16-2）-（5t+100）n=-t2+（60-5n）t+1400-100n，
∵在后50天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而减少，
∴49.5≤60-5n＜50.5，
∴1.9＜n≤2.1．
又∵n＜5，
∴n的取值范围为1.9≤n＜5．
