题目内容
【题目】如图，分别以△ABC 的边 AB，AC 向外作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，线段 BE 与 CD 相交于点 O，连接 OA．
(1)求证：BE＝DC；
(2)求∠BOD 的度数；
(3)求证：OA 平分∠DOE．
(4)猜想线段 OA、OB、OD 的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析;(2) 60°;(3)见解析;(4)见解析.
【解析】
（1）根据等边三角形性质得出AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，求出∠BAE=∠DAC．根据SAS证△ABE≌△ADC即可；（2）根据全等求出∠ADC=∠ABE，在△DOB中根据三角形的内角和定理和∠ADB=∠DBA=60°即可求出答案；
（3）过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．根据三角形的面积公式求出AN=AM，根据角平分线性质求出即可；（4）在 OD 上截取一点 G，使得 OG＝OA．由（2）（3）知∠AOD＝∠BOD＝∠AOE＝60°，故可证△AOG 是等边三角形，根据等边三角形性质得到AG＝AO，∠GAO＝60°，进而得到∠DAG＝∠BAO，根据SAS证△DAG≌△BAO，进而可得OD＝OG+DG＝OA+OB.
(1)证明：∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形，
∴ AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠BDA＝∠DBA＝∠CAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAE＝∠BAC+∠BAD， 即∠BAE＝∠DAC．
在△ABE 和△ADC 中
∵
，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝DC．
(2)解：由（1）知：△ABE≌△ADC，
∴∠ADC＝∠ABE
∴∠ADC+∠BDO＝∠ABE+∠BDO＝∠BDA＝60°
∴在△BOD 中，∠BOD＝180°﹣∠BDO﹣∠DBA﹣∠ABE
＝180°﹣∠DBA﹣（∠ADC+∠BDO）
＝180°﹣60°﹣60°
＝60°．
(3)证明：过点 A 分别作 AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点 M，N．
∵由（1）知：△ABE≌△ADC，
∴S△ABE＝S△ADC
∴
BEAM＝DCAN
∴AM＝AN
∴点 A 在∠DOE 的平分线上， 即 OA 平分∠DOE．
(4)解：结论：OD＝OA+OB．
理由：在 OD 上截取一点 G，使得 OG＝OA．
由（2）（3）可知：∠AOD＝∠BOD＝∠AOE＝60°，
∵OG＝OA，
∴△AOG 是等边三角形，
∴AG＝AO，∠GAO＝60°，
∵∠DAB＝∠GAO＝60°，
∴∠DAG＝∠BAO，
∵AD＝AB，AG＝AO，
∴△DAG≌△BAO（SAS），
∴DG＝BO，
∴OD＝OG+DG＝OA+OB．
