Question

（本题满分10分）如图（1），点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．
（1）判断CN、DM的数量关系与位置关系，并说明理由；
（2）如图（2），设CN、DM的交点为H，连接BH，求证：△BCH是等腰三角形；
（3）将△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延长MA′交DC的延长线于点E，如图（3），求tan∠DEM．

Answer 1

24．（1）CN＝DM，CN⊥DM，
证明：∵点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点
∴AM＝DN.AD＝DC.∠A＝∠CDN
∴△AMD≌△DNC，
∴CN＝DM．∠CND＝∠AMD
∴∠CND+∠NDM＝∠AMD+∠NDM＝90⁰
∴CN⊥DM
∴CN＝DM，CN⊥DM…………………………………………3分
（2）证明：延长DM、CB交于点P．
∵ AD∥BC，∴∠MPC＝∠MDA，∠A＝∠MBP
∵ MA＝MB△AMD≌△BMP，∴ BP＝AD＝BC．
∵∠CHP＝90⁰ ∴BH＝BC，即△BCH是等腰三角形……………………6分
（3）∵AB∥DC ∴∠EDM＝∠AMD＝∠DME  ∴EM＝ED
设AD＝A′D＝4k，则A′M＝AM＝2k，
    ∴DE＝EA′+2k．在Rt△DA′E中，A′D²+A′E²＝DE²
        ∴（4k）²+A′E²＝（EA′+2k）²解得A′E＝3k，
∴tan∠DEM＝A′D：A′E＝．………………………………10分

略