Question

【题目】如图，在直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y= （k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为 ．

（1）求k和m的值；
（2）点C（x，y）在反比例函数y= 的图象上，求当1≤x≤3时函数值y的取值范围；
（3）过原点O的直线l与反比例函数y= 的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（2，m），

∴OB=2，AB=m，

∴S△AOB= OBAB= ×2×m= ，

∴m= ；

∴点A的坐标为（2， ），

把A（2， ）代入y= ，得 =

∴k=1；

（2）

解：∵当x=1时，y=1；当x=3时，y= ，

又∵反比例函数y= ，在x＞0时，y随x的增大而减小，

∴当1≤x≤3时，y的取值范围为 ≤y≤1

（3）

解：由图象可得：P，Q关于原点对称，

∴PQ=2OP，

反比例函数解析式为y= ，设P（a， ），

∴OP= = ，

∴OP最小值为 ，

∴线段PQ长度的最小值为2 ．

【解析】（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y= ，可求出k的值；（2）根据反比例函数得性质求解；（3）P，Q关于原点对称，则PQ=2OP，设P（a， ），根据勾股定理得到OP= = ，从而得到OP最小值为 ，于是可得到线段PQ长度的最小值．