题目内容
【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接BD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BD＝3，AD＝4，则DE＝ ．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）连接OD，如图，先证明OD∥AE，再利用DE⊥AE得到OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）证明△ABD∽△ADE，通过线段比例关系求出DE的长.
（1）证明：连接OD
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠DAC
∵OA＝OD
∴∠BAD＝∠ODA
∴∠ODA＝∠DAC
∴OD∥AE
∴∠ODE＋∠E＝180°
∵DE⊥AE
∴∠E＝90°
∴∠ODE＝180°－∠E＝180°－90°＝90°，即OD⊥DE
∵点D在⊙O上
∴DE是⊙O的切线.
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAE，
在△ABD和△ADE中，
，
∴△ABD∽△ADE，
∴
,
∵BD＝3，AD＝4，AB=
=5
∴DE=
=.
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