题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系xoy中,点A的坐标为(0,1),取一点Bb0),连接AB,作线段AB的垂直平分线,过点BX轴的垂线,记的交点为P

1)当b=3时,在图1中补全图形(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)。

2)小慧多次取不同数值b,得出相应的点P,并把这些点用平滑的曲线连接起来,发现:这些点P竟然在一条曲线L上。

①设点P的坐标为(xy),试求yx之间的关系式,并指出曲线L是哪种曲线。

②设点Px轴,y轴的距离分别为,求+的范围。当+=8时,求点P的坐标。

③将曲线在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折,得到一条“W”形状的新曲线,若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点,直接写出k的取值范围。

【答案】(1)答案见解析 (2)①,抛物线 ②(35)或(-35) ③-k

【解析】

1)利用尺规作出线段AB的垂直平分线,过点B作出x轴的垂线即可;

2)①分x>0x<0两种情形利用勾股定理求出xy的关系即可解决问题;

②由题意得,列出方程即可解决问题.

③求出直线y=2与抛物线 y=的两个交点为(-2)和(2),利用这两个特殊点,求出k的值即可解决问题.

(1)

2)①当x0时,如图,连接AP,过点PPEy轴于点E

l1垂直平分AB

PA=PB=y.在RtAPE中,EP=OB=xAE=OE-OA=y-1

由勾股定理得:,整理得:

x0时,点Pxy)同样满足

∴曲线L就是二次函数的图像.即曲线L是一条抛物线.

②由题意可知,d2=|x

x=0时,d1+d2有最小值

d1+d2的范围是d1+d2.

d1+d2=8时,则

(Ⅰ)当x0时,原方程化为.解得x1=3x2= -5(舍去).

(Ⅱ)当x0时,原方程化为.解得x1=-3x2= 5(舍去).

x3代入,得y=5

∴点P的坐标为(35)或(-35);

k的取值范围是:-k.

解答过程如下(过程不需写):把y=2代入,得x1=-x2=.

∴直线y=2与抛物线两个交点的坐标为(-2)和(2).

当直线y=kx+3过点(-2)时,可求得k=

当直线y=kx+3过点(2)时,可求得k=-.

故当直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点时,k的取值范围是:-k.

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