题目内容
【题目】如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，连接AE、CD交于点F，连接BF．求证：
（1）AE＝CD；
（2）BF平分∠AFD．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
（1）由等腰直角三角形的性质可得AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE，由“SAS”可证△ABE≌△CBD，可得AE＝CD；
（2）由全等三角形的性质可得S△ABE＝S△CBD，可求BM＝BN，由角平分线的性质可证BF平分∠AFD．
证明：（1）∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形
∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE
∴∠ABE＝∠CBD，且AB＝BC，BE＝BD，
∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴AE＝CD；
（2）如图，过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N，
∵△ABE≌△CBD
∴S△ABE＝S△CBD，
∴
AE×BM＝CD×BN
∴BM＝BN，且BM⊥AE，BN⊥CD
∴BF平分∠AFD.
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