如图.在?ABCD中.BD为对角线.EF垂直平分BD分别交AD.BC的于点E.F.交BD于点O．(1)试说明:BF=DE,(2)试说明:△ABE≌△CDF,(3)如果在?ABCD中.AB=5.AD=10.有两动点P.Q分别从B.D两点同时出发.沿△BAE和△DFC各边运动一周.即点P自B→A→E→B停止.点Q自D→F→C→D停止.点P运动的路程是m.点Q运动的路� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，在?ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、BC的于点E、F，交BD于点O．
（1）试说明：BF=DE；
（2）试说明：△ABE≌△CDF；
（3）如果在?ABCD中，AB=5，AD=10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）

分析：（1）根据ASA证△EOD≌△FOB即可；
（2）推出DE=BF，根据平行四边形性质求出∠A=∠C，推出AE=CF，根据SAS证△ABE≌△CDF即可；
（3）分为三种情况，求出△DFC的周长，每种情况m+n都等于△DFC的周长．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ODE=∠OBF，
∵EF垂直平分BD，
∴OB=OD，

在△OBF和△ODE中，

∠OBF=∠ODE

OB=OD

∠BOF=∠DOE

，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF=DE；

（2）∵四边新ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠A=∠C，AD=BC，
∵BF=DE，
∴AE=CF，
在△ABE和△CDF中，

AB=CD

∠A=∠C

AE=CF

，
∴△ABE≌△CDF（SAS），

（3）解：∵EF垂直平分BD，
∴BF=DF，
∵△ABE≌△CDF，
∴DF=BE，AE=CF，
∴△DFC的周长是DF+CF+CD=BF+CF+CD=BC+CD=15，
△ABE的周长也是15，
①当P在AB上，Q在CD上，
∵AB∥CD，
∴∠BPO=∠DQO，
∵∠POB=∠DOQ，OB=OD，

∴△BPO≌△DQO，
∴BP=DQ，
∴m+n
=BP+DF+CF+CQ
=DF+CF+CQ+DQ
=DF+CF+CD
=15 　　　
②当P在AE上，Q在CF上，
∵AD∥BC，
∴∠PEO=∠QFO，
∵△EOD≌△FOB，
∴OE=OF，
∵∠PEO=∠QFO，∠EOP=∠FOQ，
∴△PEO≌△QFO，
∴PE=QF，
∵AE=CF，
∴CQ=AP，
m+n
=AB+AP+DF+PQ
=CD+CQ+DF+FQ
=DF+CF+CD
=15；
③当P在BE上，Q在DF上，
∵AD=BC，AE=CF，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE=DF，BE∥DF，
∴∠PEO=∠FQO，
∵∠EOP=∠FOQ，OE=OF，
∴△PEO≌△FQO，
∴PE=FQ，
∴m+n
=AB+AE+PE+DQ
=CD+CF+QF+DQ
=DF+CF+CD
=15．

点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定的综合运用．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．