题目内容

如图,在等腰△ABC中,AC=BC=10,以BC为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G,DF⊥AC于F,交CB的延长线于点E.
(1)求证:直线EF是⊙O的切线;
(2)若sin∠E=
2
5
,求AB的长.
(1)证明:连接OD,
∵AC=BC,
∴∠ABC=∠BAC,
∵OD=OB,
∴∠ABC=∠ODB,
∴∠BAC=∠BDO,
∴ODAC,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,
∵OD为半径,
∴直线EF是⊙O的切线;

(2)连接BG,
∵BC是⊙O直径,
∴∠BGC=90°,
∵DF⊥AC,
∴∠DFC=90°=∠BGC,
∴BGEF,
∴∠E=∠GBC,
∵sin∠E=
2
5

∴sin∠GBC=
2
5
=
CG
BC

∵BC=10,
∴CG=4,
∴AG=10-4=6,由勾股定理得:BG=
BC2-CG2
=2
21

在Rt△BGA中,由勾股定理得:AB=
BG2+AG2
=
(2
21
)2+62
=2
30
,即AB=2
30

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