题目内容
如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，于点D，AD⊥BC过点B作⊙O的切线
，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：BF=EF；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为3
，求BD和FG的长度．
，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为3
| 2 |
（1）证明：∵BC是⊙O的直径，BE是⊙O的切线，
∴EB⊥BC．
又∵AD⊥BC，
∴AD∥BE．
∵△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，
∴
=
，
=
．
∴
=
．
∵G是AD的中点，
∴DG=AG．
∴BF=EF．
（2）证明：连接AO，AB，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°．
在Rt△BAE中，由（1），知F是斜边BE的中点，
∴AF=FB=EF．
∴∠FBA=∠FAB．
又∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO．
∵BE是⊙O的切线，
∴∠EBO=90°．
∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，
∴PA是⊙O的切线．
（3）过点F作FH⊥AD于点H，
∵BD⊥AD，FH⊥AD，
∴FH∥BC．
由（2），知∠FBA=∠BAF，
∴BF=AF．
由已知，有BF=FG，
∴AF=FG，即△AFG是等腰三角形．
∵FH⊥AD，
∴AH=GH．
∵DG=AG，
∴DG=2HG．
即
=
．
∵FH∥BD，BF∥AD，∠FBD=90°，
∴四边形BDHF是矩形，BD=FH．
∵FH∥BC，易证△HFG∽△DCG，
∴
=
=
．
即
=
=
=
．
∵⊙O的半径长为3
，
∴BC=6
．
∴
=
=
=
．
解得BD=2
．
∴BD=FH=2
．
∵
=
=
，
∴CF=3FG．
在Rt△FBC中，
∵CF=3FG，BF=FG，
∴CF2=BF2+BC2∴（3FG）2=FG2+（6
）2
解得FG=3（负值舍去）
∴FG=3．
∴EB⊥BC．
又∵AD⊥BC，
∴AD∥BE．
∵△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，
∴
| BF |
| DG |
| CF |
| CG |
| EF |
| AG |
| CF |
| CG |
∴
| BF |
| DG |
| EF |
| AG |
∵G是AD的中点，
∴DG=AG．
∴BF=EF．
（2）证明：连接AO，AB，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°．
在Rt△BAE中，由（1），知F是斜边BE的中点，
∴AF=FB=EF．
∴∠FBA=∠FAB．
又∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO．
∵BE是⊙O的切线，
∴∠EBO=90°．
∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，
∴PA是⊙O的切线．
（3）过点F作FH⊥AD于点H，
∵BD⊥AD，FH⊥AD，
∴FH∥BC．
由（2），知∠FBA=∠BAF，
∴BF=AF．
由已知，有BF=FG，
∴AF=FG，即△AFG是等腰三角形．
∵FH⊥AD，
∴AH=GH．
∵DG=AG，
∴DG=2HG．
即
| HG |
| DG |
| 1 |
| 2 |
∵FH∥BD，BF∥AD，∠FBD=90°，
∴四边形BDHF是矩形，BD=FH．
∵FH∥BC，易证△HFG∽△DCG，
∴
| FH |
| CD |
| FG |
| CG |
| HG |
| DG |
即
| BD |
| CD |
| FG |
| CG |
| HG |
| DG |
| 1 |
| 2 |
∵⊙O的半径长为3
| 2 |
∴BC=6
| 2 |
∴
| BD |
| CD |
| BD |
| BC-BD |
| BD | ||
6
|
| 1 |
| 2 |
解得BD=2
| 2 |
∴BD=FH=2
| 2 |
∵
| FG |
| CG |
| HG |
| DG |
| 1 |
| 2 |
∴CF=3FG．
在Rt△FBC中，
∵CF=3FG，BF=FG，
∴CF2=BF2+BC2∴（3FG）2=FG2+（6
| 2 |
解得FG=3（负值舍去）
∴FG=3．
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