题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙0与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若BC=12，AD=8，求BF的长．
（1）求证：BD=BF；
（2）若BC=12，AD=8，求BF的长．
（1）证明：连接OE，
∵AC是圆的切线，
∴OE⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∵O是BD的中点，
∴OE是△BFD的中位线，
∵OE∥BF，
∴∠DEO=∠EFB，
又∵∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠BFD，
∴BD=BF；
（2）设⊙O的半径为R，则BD=2R，OD=OE=R
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴
=
，即
=
，
解得：R1=8，R2=-6（舍去）
∴BF=BD=2R=16．
∵AC是圆的切线，
∴OE⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∵O是BD的中点，
∴OE是△BFD的中位线，
∵OE∥BF，
∴∠DEO=∠EFB，
又∵∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠BFD，
∴BD=BF；
（2）设⊙O的半径为R，则BD=2R，OD=OE=R
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴
| OE |
| BC |
| AO |
| AB |
| R |
| 12 |
| R+8 |
| 2R+8 |
解得：R1=8，R2=-6（舍去）
∴BF=BD=2R=16．
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