Question

【题目】已知，如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）．

（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；

（2）根据图象直接写出在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？

（3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，试说明BM=DM．

Answer 1

【答案】（1）正比例函数表达式为y=x，反比例函数表达式为y=；（2）当0＜x＜3时；（3）证明参见解析.

【解析】

试题分析：（1）把A点坐标分别代入两函数解析式可求得a和k的值，可求得两函数的解析式；（2）由反比例函数的图象在正比例函数图象的上方可求得对应的x的取值范围；（3）用M点的坐标可表示矩形OCDB的面积和△OBM的面积，从而可表示出四边形OADM的面积，可得到方程，可求得M点的坐标，从而可证明结论．

试题解析：（1）∵正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2），∴2=3a，2=，解得a=，k=6，∴正比例函数表达式为y=x，反比例函数表达式为y=；（2）由图象可知当两函数图象在直线CD的左侧时，反比例函数的图象在正比例函数图象的上方，∵A（3，2），∴当0＜x＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）由题意可知四边形OCDB为矩形，∵M（m，n），A（3，2），∴OB=n，BM=m，OC=3，AC=2，∴S矩形OCBD=OCOB=3n，S△OBM=OBBM=mn，S△OCA=OCAC=3，∴S四边形OADM=S矩形OCBD﹣S△OBM﹣S△OCA=3n﹣mn﹣3，当四边形OADM的面积为6时，则有3n﹣mn﹣3=6，又∵M点在反比例函数图象上，∴mn=6，∴3n=12，解得n=4，则m=，∵BD=OC=3，∴M为BD中点，∴BM=DM．