题目内容
18、已知方程x2+2（k-2）x+k2+4=0有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求k的值和方程的两个根．
分析：先根据方程有两个实数根判断出k的取值范围，设出方程的两个实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系建立起关系式，再根据这两个实数根的平方和比两根的积大21可列出关于k的方程，求出k的值，再把k的值代入原方程即可解答．
解答：解：∵方程x2+2（k-2）x+k2+4=0有两个实数根，
∴△=4（k-2）2-4（k2+4）≥0，
∴k≤-1，
设方程的两根分别为x1、x2，
∴x1+x2=-2（k-2）…①，x1•x2=k2+4…②，
∵这两个实数根的平方和比两根的积大21，即x12+x22=x1•x2+21，
即（x1+x2）2-3x1•x2=21，
把①、②代入得，4（k-2）2-3（k2+4）=21，
∴k=17（舍去）或k=-1，
∴k=-1，
∴原方程可化为x2-6x+5=0，
解得x1=1，x2=5．
∴△=4（k-2）2-4（k2+4）≥0，
∴k≤-1，
设方程的两根分别为x1、x2，
∴x1+x2=-2（k-2）…①，x1•x2=k2+4…②，
∵这两个实数根的平方和比两根的积大21，即x12+x22=x1•x2+21，
即（x1+x2）2-3x1•x2=21，
把①、②代入得，4（k-2）2-3（k2+4）=21，
∴k=17（舍去）或k=-1，
∴k=-1，
∴原方程可化为x2-6x+5=0，
解得x1=1，x2=5．
点评：此题比较复杂，考查的是一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解答此题的关键是先判断出k的取值范围，再根据根与系数的关系解答．
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