题目内容
【题目】（1）已知：如图1，P为△ADC内一点，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，如果∠A=90°，那么∠P=______°；如果∠A=x°，则∠P=____________°；（答案直接填在题中横线上）
（2）如图2，P为四边形ABCD内一点，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并写出你的探索过程；
（3）如图3，P为五边形ABCDE内一点，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E的数量关系：________________；
（4）若P为n边形A1A2A3…An内一点，PA1平分∠AnA1A2，PA2平分∠A1A2A3，请直接写出∠P与∠A3+A4+A5+…∠An的数量关系：__________________________．（用含n的代数式表示）
【答案】如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，则∠P=（90+
）° ∠P=
（∠A+∠B） ∠P=（∠A+∠B+∠E）﹣90° ∠P=（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）﹣（n﹣4）×90°
【解析】
（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理，列式整理解答；
（2）根据角平分线的定义和四边形的内角和，列式整理解答；
（3）根据角平分线的定义和五边形的内角和，列式整理解答；
（4）根据角平分线的定义和n边形的内角和公式，列式整理解答；
（1）∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠ADC﹣∠ACD
=180°﹣（∠ADC+∠ACD）
=180°﹣（180°﹣∠A）
=90°+ ∠A，
∴如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，则∠P=（90+）°；
（2）∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠ADC﹣∠BCD
=180°﹣（∠ADC+∠BCD）
=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）
（∠A+∠B）；
（3）五边形ABCDEF的内角和为：（5﹣2）180°=540°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠EDC﹣∠BCD
=180°﹣（∠EDC+∠BCD）
=180°﹣（540°﹣∠A﹣∠B﹣∠E）
=（∠A+∠B+∠E）﹣90°，
即∠P=（∠A+∠B+∠E）﹣90°；
（4）同（1）可得，∠P=（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）﹣（n﹣4）×90°．
故答案为：（1）如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，则∠P=（90+）°（2）∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD=（∠A+∠B）（3）∠P=（∠A+∠B+∠E）﹣90°（4）∠P=（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）﹣（n﹣4）×90°
