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精英家教网如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M,N,P,Q分别是AD,BC,BD,AC的中点.
求证:MN与PQ互相垂直平分.
分析:先利用平行四边形的判定得出PM=
1
2
AB;NQ=
1
2
AB,证明四边形MPNQ是平行四边形后再证得四边形MPNQ为菱形,然后可证得MN与PQ互相垂直平分.
解答:精英家教网证明:连接MP,PN,NQ,QM,
∵AM=MD,BP=PD,
∴PM=
1
2
AB,
∴PM是△ABD的中位线,
∴PM∥AB;
同理NQ=
1
2
AB,NQ∥AB,MQ=
1
2
DC,
∴PM=NQ,且PM∥NQ.
∴四边形MPNQ是平行四边形.(3分)
又∵AB=DC,∴PM=MQ,
∴平行四边形MPNQ是菱形.(5分)
∴MN与PQ互相垂直平分.(6分)
点评:本题考查的是线段的垂直平分线的性质(垂直平分线上任意一点,和线段两端点的距离相等)有关知识以及平行四边形的判定定理.
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