题目内容
如图,△ABC中,AB=AC,AD,CD分别是△ABC两个外角的平分线。
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(1)求证:AC=AD;
(2)若∠B=60°,求证:四边形ABCD是菱形.
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(1)求证:AC=AD;
(2)若∠B=60°,求证:四边形ABCD是菱形.
(1)根据三角形外角的性质得到∠CAF=∠B+∠ACB,由AB=AC可得∠B=∠ACB,即可得到∠CAF=2∠B,根据角平分线的性质可得∠CAF=2∠FAD,即可得到∠B=∠FAD,则可得AD//BC,根据平行线的性质可得∠D=∠DCE,再根据角平分线的性质可得∠DCE=∠ACD,即可证得结论;
(2)由△ABC中,AB=AC,∠B=60°可证得△ABC是等边三角形,即得AB=BC=AC,由AD=AC可得AD=BC,再结合AD//BC可证得四边形ABCD是平行四边形,再有AB=BC即可证得结论.
(2)由△ABC中,AB=AC,∠B=60°可证得△ABC是等边三角形,即得AB=BC=AC,由AD=AC可得AD=BC,再结合AD//BC可证得四边形ABCD是平行四边形,再有AB=BC即可证得结论.
试题分析:(1)∵∠CAF是△ABC的外角
∴∠CAF=∠B+∠ACB
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∴∠CAF=2∠B
∵AD是△ABC两个外角的平分线
∴∠CAF=2∠FAD
∴∠B=∠FAD
∴AD//BC
∴∠D=∠DCE
∵CD是△ABC外角的平分线
∴∠DCE=∠ACD
∴AC=AD;
(2)∵△ABC中,AB=AC,∠B=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC
∵AD=AC
∴AD=BC
又∵AD//BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB=BC
∴四边形ABCD是菱形.
点评:此类问题是初中数学的重点,是中考常见题,一般难度不大,需熟练掌握.
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