题目内容

如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上,且长分别为m、4m(m>0),D为边AB的中点,一抛物线l经过点A、D及点M(﹣1,﹣1﹣m).

(1)求抛物线l的解析式(用含m的式子表示);
(2)把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处,连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E,若抛物线l与线段CE相交,求实数m的取值范围;
(3)在满足(2)的条件下,求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标.

解:(1)设抛物线l的解析式为
将A(0,m),D(2m,m),M(﹣1,﹣1﹣m)三点的坐标代入,得
,解得
∴抛物线l的解析式为
(2)设AD与x轴交于点M,过点A′作A′N⊥x轴于点N,

∵把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处,
∴△OAD≌△OA′D,OA=OA′=m,AD=A′D=2m,∠OAD=∠OA′D=90°,∠ADO=∠A′DO。
∵矩形OABC中,AD∥OC,∴∠ADO=∠DOM。
∴∠A′DO=∠DOM。∴DM=OM。
设DM=OM=x,则A′M=2m﹣x,
在Rt△OA′M中,∵OA′2+A′M2=OM2
,解得
,∴

∴A′点坐标为()。
易求直线OA′的解析式为
当x=4m时,,∴E点坐标为(4m,)。
当x=4m时,
∴抛物线l与直线CE的交点为(4m,)。
∵抛物线l与线段CE相交,∴
∵m>0,∴,解得
(3)∵
∴当x=m时,y有最大值
又∵
∴当时,随m的增大而增大。
∴当m=时,顶点P到达最高位置,
∴此时抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为(

解析试题分析:(1)设抛物线l的解析式为,将A、D、M三点的坐标代入,运用待定系数法即可求解。
(2)设AD与x轴交于点M,过点A′作A′N⊥x轴于点N.根据轴对称及平行线的性质得出DM=OM=x,则A′M=2m﹣x,OA′=m,在Rt△OA′M中运用勾股定理求出x,得出A′点坐标,运用待定系数法得到直线OA′的解析式,确定E点坐标(4m,﹣3m),根据抛物线l与线段CE相交,列出关于m的不等式组,求出解集即可。
(3)根据二次函数的性质,结合(2)中求出的实数m的取值范围,即可求解。

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