题目内容
如图,已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E,过C点作CG∥AD交AB的延长线于点G,连接CO并延长交
AD于点F,且CF⊥AD.
(1)试问:CG是⊙O的切线吗?说明理由;
(2)请证明:E是OB的中点;
(3)若AB=8,求CD的长.

(1)试问:CG是⊙O的切线吗?说明理由;
(2)请证明:E是OB的中点;
(3)若AB=8,求CD的长.
(1)CG是⊙O的切线.理由如下:
∵CG∥AD,
∵CF⊥AD,
∴OC⊥CG.
∴CG是⊙O的切线;
(2)证明:
第一种方法:连接AC,如图,(2分)
∵CF⊥AD,AE⊥CD且CF,AE过圆心O,
∴
=
,
=
.
∴AC=AD=CD.
∴△ACD是等边三角形.(3分)
∴∠D=60°.
∴∠FCD=30°.(4分)
在Rt△COE中,
∴OE=
OB.
∴点E为OB的中点.(5分)
第二种方法:连接BD,如图,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
又∵∠AFO=90°,
∴∠ADB=∠AFO,∴CF∥BD.
∴△BDE∽△OCE.(3分)
=
.
∵AE⊥CD,且AE过圆心O,
∴CE=DE.(4分)
∴BE=OE.
∴点E为OB的中点.(5分)
(3)∵AB=8,
∴OC=
AB=4.
又∵BE=OE,
∴OE=2.(6)
∴CE=OE×cot30°=2
.(7分)
∵AB⊥CD,
∴CD=2CE=4
.(8分)
∵CG∥AD,
∵CF⊥AD,
∴OC⊥CG.
∴CG是⊙O的切线;
(2)证明:
第一种方法:连接AC,如图,(2分)

∵CF⊥AD,AE⊥CD且CF,AE过圆心O,
∴
![]() |
AC |
![]() |
AD |
![]() |
AC |
![]() |
CD |
∴AC=AD=CD.
∴△ACD是等边三角形.(3分)
∴∠D=60°.
∴∠FCD=30°.(4分)
在Rt△COE中,
∴OE=
1 |
2 |
∴点E为OB的中点.(5分)
第二种方法:连接BD,如图,
∵AB为⊙O的直径,

∴∠ADB=90°.
又∵∠AFO=90°,
∴∠ADB=∠AFO,∴CF∥BD.
∴△BDE∽△OCE.(3分)
BE |
OE |
DE |
CE |
∵AE⊥CD,且AE过圆心O,
∴CE=DE.(4分)
∴BE=OE.
∴点E为OB的中点.(5分)
(3)∵AB=8,
∴OC=
1 |
2 |
又∵BE=OE,
∴OE=2.(6)
∴CE=OE×cot30°=2
3 |
∵AB⊥CD,
∴CD=2CE=4
3 |

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