Question

如图，已知BC是⊙O的直径，P是⊙O上一点，A是

BP

的中点，AD⊥BC于点D，BP与AD相交于点E．
（1）当BC=6且∠ABC=60°时，求

AB

的长；
（2）求证：AE=BE．
（3）过A点作AM∥BP，求证：AM是⊙O的切线．

Answer 1

（本题满分6分）
（1）连接OA，AB，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠ABC=60°，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
又∵OB=

1

2

BC=

1

2

×6=3，
∴AB弧的长为：l=

2πR

6

=

2×π×3

6

=π；

（2）证明：∵点A是

BP

的中点，
∴

BA

=

AP

，
∴∠C=∠ABP．
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
即∠BAD+∠CAD=90°．
又∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴∠ABP=∠BAD，
∴AE=BE；

（3）证明：∵A是

BP

的中点，
∴AO⊥BP，
∵AM∥BP，
∴AM⊥AO，
即AM是⊙O的切线．