题目内容

【题目】如图8,在平面直角坐标系中,点A坐标为(0,3),点B(,)是以OA为直径的⊙M上的一点,且tan∠AOB=,BH⊥轴,H为垂足,点C(,).

(1)求H点的坐标;

(2)求直线BC的解析式;

(3)直线BC是否与⊙M相切?请说明理由.

【答案】(1) H(0,); (2) =- +4;(3)见解析.

【解析】分析

(1)由已知易得tan∠AOB=,BH=由此即可解得m=从而可得点H的坐标;

(2)由(1)可知点B的坐标为结合点C的坐标即可由待定系数法求得直线BC的解析式;

(3)设直线BC与两坐标轴的交点分别为E、F,由(2)中所得解析式可求得点E、F的坐标,过点MMN⊥BC于点N,由SFME=EF·MN=FM·EO可证得MN的长等于⊙M的半径由此即可得到BC⊙M的切线.

详解:

(1)由tan∠AOB==

∴OH=2BHB(,=2×=

∴H点的坐标为H(0,

(2)设过点B(,)及点C(,

的直线解析式为:=+,

BC坐标分别代入,:,

解得,

∴直线BC的解析式为:=- +4;

(3BC与⊙M相切理由如下

如下图,设直线BC分别与轴交于点EF,

则点E的坐标为(3,0)F的坐标为(0,4),

∴OE=3,OF=4,

∴EF=5,

过圆心MMN⊥EF垂足为N连结ME

∵SFME=EF·MN=FM·EO,

∴得EF·MN=FM·EO

∵⊙M的直径为3,

∴⊙M的半径OM=1.5,

MF=4-1.5=2.5,

MN==,

即圆心M到直线BC的距离等于⊙M的半径,

∴直线BC是⊙M的切线.

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