Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于B，与二次函数的图象交于另一点C，且C点的横坐标为﹣1，AC：BC=3：1．

（1）求点A的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图，过点C作CM∥OA交y轴于M．

∵AC：BC=3：1，

∴ = ．

∵CM∥OA，

∴△BCM∽△BAO，

∴ = = ，

∴OA=4CM=4，

∴点A的坐标为（﹣4，0）；

（2）

解：∵二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过A点（﹣4，0），

∴16a﹣4b=0，

∴b=4a，

∴y=ax2+4ax，对称轴为直线x=﹣2，

∴F点坐标为（﹣2，﹣4a）．

设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（﹣4，0）代入，

得﹣4k+n=0，

∴n=4k，

∴直线AB的解析式为y=kx+4k，

∴B点坐标为（0，4k），D点坐标为（﹣2，2k），C点坐标为（﹣1，3k）．

∵C（﹣1，3k）在抛物线y=ax2+4ax上，

∴3k=a﹣4a，

∴k=﹣a．

∵△AED中，∠AED=90°，

∴若△FCD与△AED相似，则△FCD是直角三角形，

∵∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，

∴∠FCD=90°，

∴△FCD∽△AED．

∵F（﹣2，﹣4a），C（﹣1，3k），D（﹣2，2k），k=﹣a，

∴FC2=（﹣1+2）2+（3k+4a）2=1+a2，CD2=（﹣2+1）2+（2k﹣3k）2=1+a2，

∴FC=CD，

∴△FCD是等腰直角三角形，

∴△AED是等腰直角三角形，

∴∠DAE=45°，

∴∠OBA=45°，

∴OB=OA=4，

∴4k=4，

∴k=1，

∴a=﹣1，

∴此二次函数的关系式为y=﹣x2﹣4x．

【解析】（1）过点C作CM∥OA交y轴于M，则△BCM∽△BAO，根据相似三角形对应边成比例得出 = ，即OA=4CM=4，由此得出点A的坐标为（﹣4，0）；（2）先将A（﹣4，0）代入y=ax2+bx，化简得出b=4a，即y=ax2+4ax，则顶点F（﹣2，﹣4a），设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（﹣4，0）代入，化简得n=4k，即直线AB的解析式为y=kx+4k，则B点（0，4k），D（﹣2，2k），C（﹣1，3k）．由C（﹣1，3k）在抛物线y=ax2+4ax上，得出3k=a﹣4a，化简得到k=﹣a．再由△FCD与直角△AED相似，则△FCD是直角三角形，又∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，得出∠FCD=90°，△FCD∽△AED．再根据两点之间的距离公式得出FC2=CD2=1+a2 ， 得出△FCD是等腰直角三角形，则△AED也是等腰直角三角形，所以∠DAE=45°，由三角形内角和定理求出∠OBA=45°，那么OB=OA=4，即4k=4，求出k=1，a=﹣1，进而得到此二次函数的关系式为y=﹣x2﹣4x．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．