Question

【题目】已知抛物线的解析式y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，点B的坐标为（﹣1，0）抛物线与y轴正半轴交于点C，△ABC面积为6．

（1）如图1，求此抛物线的解析式；

（2）P为第一象限抛物线上一动点，过P作PG⊥AC，垂足为点G，设点P的横坐标为t，线段PG的长为d，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；

（3）如图2，在（2）的条件下，过点B作CP的平行线交y轴上一点F，连接AF，在BF的延长线上取点E，连接PE，若PE＝AF，∠AFE+∠BEP＝180°，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2），0＜t＜3；（3）P()

【解析】

（1）根据条件易求出A，B两点的坐标，再利用待定系数法求解即可；

（2）作PD⊥x轴交AC于点E，如图3，易知∠A＝45°，然后利用三角形的内角和可得：∠P＝∠A，则，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，而点P的横坐标已知，则可用含t的代数式表示出PE，问题即得解决；

（3）如图4，过点P作PN⊥BE交BE于点N，过点C作CH⊥BE于点H，过点A作AG⊥BE于点G，设BE与AC交于点M，根据AAS可证明△PEN≌△AFG，可得PN＝AG，然后再根据AAS证明△CHM≌△AGM，可得CM＝AM，于是由中点坐标公式可求得点M的坐标，再根据待定系数法可求得直线BM的解析式，进而求出直线CP的解析式，然后解由直线CP和抛物线的解析式组成的方程组即可求出点P的坐标．

解：（1）当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3，

∵B（﹣1，0），∴OB＝1，∴，解得：AB＝4，

∴OA＝AB﹣OB＝3，∴A（3，0），

将A，B的坐标代入抛物线的解析式y＝ax2+bx+3，得：，解得；，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）作PD⊥x轴交AC于点E，如图3，

∵OA＝OC=3，∴∠A＝45°，

∵∠PEG＝∠AED，∠PGE＝∠EDA＝90°，∴∠P＝∠A＝45°，

∴，∴，

设直线AC的解析式为：y＝kx+b，把A（3，0），C（0，3）两点代入，得：，解得：，

∴直线AC为y＝﹣x+3，

设P（t，﹣t2+2t+3），∵PD⊥x轴，∴E（t，﹣t+3），

∴PE＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，∴，

∵P为第一象限抛物线上一动点，∴0＜t＜3；

∴，0＜t＜3；

（3）如图4，过点P作PN⊥BE交BE于点N，过点C作CH⊥BE于点H，过点A作AG⊥BE于点G，设BE与AC交于点M，

∵∠BEP+∠PEN＝180°，∠AFE+∠BEP＝180°，∴∠PEN＝∠AFG，

∵∠PNE＝∠AGF＝90°，PE＝AF，

∴△PEN≌△AFG（AAS），∴PN＝AG，

∵CP∥BE，∴四边形CPNH是矩形，∴PN＝CH＝AG，

∵∠CMH＝∠AMG，∠CHM＝∠AGM，

∴△CHM≌△AGM（AAS），∴CM＝AM，∴M（，），

则可得过点B（－1，0）和点M（，）两点的直线解析式为：y=，

∵CP∥BM，∴直线CP的解析式为y=，

解方程组：，得：，，

∴P（）．