题目内容

我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，-3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．
（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式．
（3）如果直线x=m在线段OB上移动，交x轴于点D，交抛物线于点E，交BD于点F．连接DE和BE后，对于问题“是否存在这样的点E，使△BDE的面积最大？”小明同学认为：“当E为抛物线的顶点时，△BDE的面积最大．”他的观点是否正确？提出你的见解，若△BDE的面积存在最大值，请求出m的值以及点E的坐标．
（1）设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．
根据题意知A、B、D点的坐标分别是（-1，0）、（3，0）、（0，-3），
则可列方程组
0=a-b+c
0=9a+3b+c
-3=c
，
解得c=-3、a=1、b=-2，
∴“蛋圆”抛物线部分的解析式为y=x2-2x-3（-1≤x≤3）；

（2）设过点D（0，-3）的“蛋圆”切线的解析式为y=kx-3，
将其代入抛物线部分的解析式为y=x2-2x-3得
kx-3=x2-2x-3，即x2-（2+k）x=0，
∵△=（2+k）2=0，
∴k=-2，
∴过点D（0，-3）的“蛋圆”切线的解析式为y=-2x-3；

（3）由上面知B、D点的坐标分别是（3，0）、（0，-3），
则直线BD的解析式为y=x-3，
∵点F为直线x=m与直线BD的交点，点E为直线x=m与抛物线y=x2-2x-3的交点，
∴点F的坐标为（m，m-3），点E的坐标为（m，m2-2m-3），
∴S△BDE=S△BDF+S△DEF=
1
2
×EF×OD+
1
2
×EF×DB，
=
1
2
×EF×OB，
=
1
2
[m-3-(m2-2m-3)]×3，
=
3
2
(3m-m2)，
=-
3
2
(m-
3
2
)2+
27
8
，
又∵0≤m≤3，
∴当m=
3
2
，S△BDE取最大值
27
8
，点E的坐标为（
3
2
，-
9
4
），
∵抛物线的顶点为（1，-4），
∴小明同学认为：“当E为抛物线的顶点时，△BDE的面积最大．”这样的观点是错误的．
答：（1）“蛋圆”抛物线部分的解析式为y=x2-2x-3（-1≤x≤3）．
（2）过点D（0，-3）的“蛋圆”切线的解析式为y=-2x-3．
（3）存在这样的点E的坐标为（
3
2
，-
15
4
），使△BDE的面积最大为
27
8
；小明同学认为：“当E为抛物线的顶点时，△BDE的面积最大．”这样的观点是错误的．
练习册系列答案
相关题目
如图，在平面直角坐标系中，直线y=
1
2
x+
3
2
与直线y=x交于点A，点B在直线y=
1
2
x+
3
2
上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；
（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．
（6999•重庆）如的，二次函数y=96+29+c的的象与9轴只有一个公共点P，与y轴的交点为Q．过点Q的直线y=69+m与9轴交于点A，与这个二次函数的的象交于另一点2，若S△2PQ=3S△APQ，求这个二次函数的解析式．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三点．
（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．
如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴交与A，B两点，与y轴交与点C，已知点A的坐标为（-2，0），sin∠ABC=
2
5
5
，点D是抛物线的顶点，直线DC交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）在直线CD上是否存在一点Q，使以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P是直线y=2x-4上一点，过点P作直线PM垂直于直线CD，垂足为M，若∠MPO=75°，求出点P的坐标．
如图1，已知：抛物线y=
1
2
x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线是y=
1
2
x-2，连接AC．
（1）B、C两点坐标分别为B（______，______）、C（______，______），抛物线的函数关系式为______；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．
如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB边上一点（E不与A、B重合），F是AD的延长线上一点，DF=2BE．四边形AEGF是句型，其面积y随BE的长x的变化而变化且构成函数．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若上述（1）中是二次函数，请用配方法把它转化成y=a（x-h）2+k的形式，并指出当x取何值时，y取得最大（或最小）值，该值是多少？
（3）直接写出抛物线与x轴交点坐标．
某公司生产的A种产品，每件成本是2元，每件售价是3元，一年的销售量是10万件．为了获得更多的利润，公司准备拿出一定资金来做广告．根据经验，每年投入的广告费为x（万元）时，产品的年销售量是原来的y倍，且y是x的二次函数，公司作了预测，知x与y之间的对应关系如下表：
x（万元）012…
y11.51.8…
（1）根据上表，求y关于x的函数关系式；
（2）如果把利润看成是销售总额减去成本和广告费，请你写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式；
（3）从上面的函数关系式中，你能得出什么结论？
如图，在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴的负半轴相交于点C，点C的坐标为（0，-3），且BO=CO．
（1）求出B点坐标和这个二次函数的解析式；
（2）求出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网