题目内容
如图,已知二次函数y=ax2+bx+8(a≠0)的图象与x轴交与A,B两点,与y轴交与点C,已知点A的坐标为(-2,0),sin∠ABC=
,点D是抛物线的顶点,直线DC交x轴于点E.
(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;
(2)在直线CD上是否存在一点Q,使以B,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点P是直线y=2x-4上一点,过点P作直线PM垂直于直线CD,垂足为M,若∠MPO=75°,求出点P的坐标.
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(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;
(2)在直线CD上是否存在一点Q,使以B,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点P是直线y=2x-4上一点,过点P作直线PM垂直于直线CD,垂足为M,若∠MPO=75°,求出点P的坐标.
(1)∵二次函数y=ax2+bx+8(a≠0)的图象与y轴交与点C,
∴点C(0,8),即OC=8;
Rt△OBC中,BC=OC÷sin∠ABC=8÷
=4
,
OB=
=4,
则点B(4,0).
将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,得:
.
解得
,
故抛物线的解析式:y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9,顶点D(1,9);
(2)在直线CD上存在点Q,能够使以B,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.理由如下:
设直线CD的解析式为y=kx+m,
将C(0,8),D(1,9)代入,
得
,解得
,
则直线CD的解析式为y=x+8.
设Q点的坐标为(x,x+8).
以B,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形时,分三种情况讨论:
①当BQ=BC=4
时,有(x-4)2+(x+8)2=80,
整理,得2x2+8x=0,
解得x1=-4,x2=0(不合题意,舍去).
当x=-4时,x+8=4,即此时Q点的坐标为(-4,4);
②当CQ=BC=4
时,有x2+(x+8-8)2=80,
整理,得2x2=80,
解得x1=2
,x2=-2
.
当x=2
时,x+8=2
+8,即此时Q点的坐标为(2
,2
+8);
当x=-2
时,x+8=-2
+8,即此时Q点的坐标为(-2
,-2
+8);
③当QB=QC时,有(x-4)2+(x+8)2=x2+(x+8-8)2,
整理,得8x+80=0,
解得x=-10.
当x=-10时,x+8=-2,即此时Q点的坐标为(-10,-2).
综上可知,在直线CD上存在点Q,能够使以B,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形,此时点Q的坐标为(-4,4)或(2
,2
+8)或(-2
,-2
+8)或(-10,-2);
(3)设直线CD:y=x+8与x轴交于点E,则点E(-8,0),OC=OE=8,∠CEO=45°.
设直线y=2x-4与直线CD交于点F,分两种情况讨论:
①当点P在点F的下方时,如右图1,过点P作PQ⊥x轴于点Q.
在四边形EMPQ中,∠MPQ=360°-∠PME-∠PQE-∠MEQ=360°-90°-90°-45°=135°,
当∠MPO=75°时,∠OPQ=135°-75°=60°,∠POQ=30°,则直线OP的解析式为y=
x.
解方程组
,得
,
即此时P点的坐标为(
,
);
②当点P在点F的上方时,如右图2,过点P作PQ⊥x轴于点Q,设直线CD与直线OP交于点G.
在△MPG中,∠MGP=180°-∠PMG-∠GPM=180°-90°-75°=15°,
∴∠EGO=∠MGP=15°,
∴∠GOQ=∠GEO+∠EGO=45°+15°=60°,
∴直线OP的解析式为y=
x.
解方程组
,得
,
即此时P点的坐标为(8+4
,8
+12).
综上可知,点P的坐标为(
,
)或(8+4
,8
+12).
∴点C(0,8),即OC=8;
Rt△OBC中,BC=OC÷sin∠ABC=8÷
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OB=
BC2-OB2 |
则点B(4,0).
将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,得:
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解得
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故抛物线的解析式:y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9,顶点D(1,9);
(2)在直线CD上存在点Q,能够使以B,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.理由如下:
设直线CD的解析式为y=kx+m,
将C(0,8),D(1,9)代入,
得
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则直线CD的解析式为y=x+8.
设Q点的坐标为(x,x+8).
以B,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形时,分三种情况讨论:
①当BQ=BC=4
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整理,得2x2+8x=0,
解得x1=-4,x2=0(不合题意,舍去).
当x=-4时,x+8=4,即此时Q点的坐标为(-4,4);
②当CQ=BC=4
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整理,得2x2=80,
解得x1=2
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当x=2
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当x=-2
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③当QB=QC时,有(x-4)2+(x+8)2=x2+(x+8-8)2,
整理,得8x+80=0,
解得x=-10.
当x=-10时,x+8=-2,即此时Q点的坐标为(-10,-2).
综上可知,在直线CD上存在点Q,能够使以B,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形,此时点Q的坐标为(-4,4)或(2
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(3)设直线CD:y=x+8与x轴交于点E,则点E(-8,0),OC=OE=8,∠CEO=45°.
设直线y=2x-4与直线CD交于点F,分两种情况讨论:
①当点P在点F的下方时,如右图1,过点P作PQ⊥x轴于点Q.
在四边形EMPQ中,∠MPQ=360°-∠PME-∠PQE-∠MEQ=360°-90°-90°-45°=135°,
当∠MPO=75°时,∠OPQ=135°-75°=60°,∠POQ=30°,则直线OP的解析式为y=
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解方程组
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即此时P点的坐标为(
24+4
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4+8
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②当点P在点F的上方时,如右图2,过点P作PQ⊥x轴于点Q,设直线CD与直线OP交于点G.
在△MPG中,∠MGP=180°-∠PMG-∠GPM=180°-90°-75°=15°,
∴∠EGO=∠MGP=15°,
∴∠GOQ=∠GEO+∠EGO=45°+15°=60°,
∴直线OP的解析式为y=
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解方程组
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即此时P点的坐标为(8+4
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综上可知,点P的坐标为(
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