题目内容
【题目】(题文)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,△ABD、△BCE均为等边三角形,DE、AB交于点F,AF=3,则△ACE的面积为_____.
【答案】6
【解析】
如图所示,过D作DG⊥AB于G,EK⊥AC交AC的延长线于K,根据等边三角形的性质、勾股定理、30°角直角三角形的性质可得DG=AG,BC=
AC,再证明△ADF≌△GEF,根据全等三角形的性质可得DF=EF,GF=BF,所以FG=
,AG=2
,即可得AB=4
,AC=2
,EC=BC=
AC=6
,在Rt△CEK中,EK=
EC=3
,根据三角形的面积公式求得S△ACE=
ACEK=6
.
如图所示,过D作DG⊥AB于G,EK⊥AC交AC的延长线于K.
∵△ABD是等边三角形,DG⊥AB,
∴AG=BG=AB,由勾股定理得:DG=
AG,
∵∠BAC=30°,
∴AC=AB,
∴AG=AC=AB,
∵由勾股定理得:BC=AC,
∴DG=BC=BE,
∵∠EBA=60°+30°=90°,
∴EB⊥AB.
∴DG∥EB.
∴∠BEF=∠GDF,∠DGB=∠EBF=90°,
在△DGF与△EBF中,
∵,
∴△ADF≌△GEF(AAS),
∴DF=EF,GF=BF,
∵AG=BG,AF=3,
∴FG=,AG=2
,
∴AB=4,AC=2
,EC=BC=
AC=6
,
在Rt△CEK中,EK=EC=3
,
∴S△ACE=ACEK=
2
3
=6
.
故答案为6.

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