题目内容

【题目】在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x.

(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;

(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切?

(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?

【答案】解:(1∵MN∥BC∴∠AMN=∠B∠ANM∠C

∴△AMN ∽△ABC

,即

∴ANx

=.(04

2)如图2,设直线BC⊙O相切于点D,连结AOOD,则AO="OD" =MN

Rt△ABC中,BC =5

由(1)知 △AMN ∽△ABC

,即

M点作MQ⊥BCQ,则

Rt△BMQRt△BCA中,∠B是公共角,

∴△BMQ∽△BCA

∴x

x时,⊙O与直线BC相切.

3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连结AP,则O点为AP的中点.

∵MN∥BC∴∠AMN=∠B∠AOM∠APC

∴△AMO ∽△ABP

AMMB2

故以下分两种情况讨论:

0≤2时,

24时,设PMPN分别交BCEF

四边形AMPN是矩形,

∴PN∥AMPNAMx

∵ MN∥BC

四边形MBFN是平行四边形.

∴ FNBM4x

△PEF ∽△ACB

【解析】

解:(1∵MN∥BC∴△AMN∽△ABC

, 即

∴ ANx

……………………………… 2

2)如图2,作OD⊥BC于点D,当OD =MN时,⊙O与直线BC相切.

Rt△ABC中,BC ==10

由(1)知 △AMN ∽△ABC

,即

∴ MN=

M点作ME⊥BC 于点E

∵sinB=

,解得

时,⊙O与直线BC相切. ………………… 4

3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,如图3,连结AP,则O点为AP的中点.

∵ MN∥BC

,即 AM=MB=4

故分以下两种情况讨论:

0≤4时,

=4时,……………… 5

48时,如图4,设PMPN分别交BCEF

四边形AMPN是矩形, ∴ PN∥AMPN=AM=x

∵ MN∥BC四边形MBFN是平行四边形.

∴ FN=BM=8x

∴PF="PN–FN" =" x" -(8 - x) =" 2x" -8

△PEF∽△ACB

二次项系数,且当时,满足48

…………………………………………………………………………… 6

综上所述,当时,值最大,最大值是8…………………… 7

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