题目内容
【题目】在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x.
(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;
(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切?
(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
【答案】解:(1)∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C.
∴△AMN ∽△ABC.
∴,即
.
∴AN=x.
∴=
.(0<
<4)
(2)如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连结AO,OD,则AO="OD" =MN.
在Rt△ABC中,BC ==5.
由(1)知 △AMN ∽△ABC.
∴,即
.
∴,
∴.
过M点作MQ⊥BC于Q,则.
在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角,
∴△BMQ∽△BCA.
∴.
∴,
.
∴x=.
∴ 当x=时,⊙O与直线BC相切.
(3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连结AP,则O点为AP的中点.
∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠AOM=∠APC.
∴△AMO ∽△ABP.
∴. AM=MB=2.
故以下分两种情况讨论:
① 当0<≤2时,
.
② 当2<<4时,设PM,PN分别交BC于E,F.
∵ 四边形AMPN是矩形,
∴PN∥AM,PN=AM=x.
又∵ MN∥BC,
∴ 四边形MBFN是平行四边形.
∴ FN=BM=4-x.
∴.
又△PEF ∽△ACB.
∴.
∴.
=
.
【解析】
解:(1)∵MN∥BC, ∴△AMN∽△ABC.
∴, 即
.
∴ AN=x.
∴.……………………………… 2分
(2)如图2,作OD⊥BC于点D,当OD =MN时,⊙O与直线BC相切.
在Rt△ABC中,BC ==10.
由(1)知 △AMN ∽△ABC.
∴,即
.
∴ MN=.
过M点作ME⊥BC 于点E,
∵sinB=,∴
.
∴.
∴,解得
.
∴当时,⊙O与直线BC相切. ………………… 4分
(3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,如图3,连结AP,则O点为AP的中点.
∵ MN∥BC,
∴,即 AM=MB=4.
故分以下两种情况讨论:
①当0<≤4时,
.
∴ 当=4时,
.……………… 5分
②当4<<8时,如图4,设PM、PN分别交BC于E、F.
∵ 四边形AMPN是矩形, ∴ PN∥AM,PN=AM=x.
又∵ MN∥BC, ∴ 四边形MBFN是平行四边形.
∴ FN=BM=8-x.
∴PF="PN–FN" =" x" -(8 - x) =" 2x" -8.
又△PEF∽△ACB,∴.
∴.
∴=
.
∵ 二次项系数,且当
时,满足4<
<8,
∴.…………………………………………………………………………… 6分
综上所述,当时,
值最大,最大值是8. …………………… 7分
