题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，O为原点，点B在x轴的正半轴上，D（0，8），将矩形OBCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（1）如图①，已知折痕与边BC交于点A，若OD=2CP，求点A的坐标．
（2）若图①中的点 P 恰好是CD边的中点，求∠AOB的度数．
（3）如图②，在（I）的条件下，擦去折痕AO，线段AP，连接BP，动点M在线段OP上（点M与P，O不重合），动点N在线段OB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M，N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度（直接写出结果即可
【答案】
（1）
解：∵D（0，8），
∴OD=BC=8，
∵OD=2CP，
∴CP=4，
设OB=OP=DC=x，
则DP=x﹣4，
在Rt△ODP中，OD2+DP2=OP2，
即：82+（x﹣4）2=x2，
解得：x=10，
∵∠OPA=∠B=90°，
∴△ODP∽△PCA，
∴OD：PC=DP：CA，
∴8：4=（x﹣4）：AC，
则AC= 
=3，
∴AB=5，
∴点A（10，5）；
（2）
解：∵点 P 恰好是CD边的中点，
设DP=PC=y，
则DC=OB=OP=2y，
在Rt△ODP中，OD2+DP2=OP2，
即：82+y2=（2y）2，
解得：y= 
，
∵∠OPA=∠B=90°，
∴△ODP∽△PCA，
∴OD：PC=DP：CA，
∴8：y=y：AC，
则AC= 
= 
，
∴AB=8﹣ = 
，
∵OB=2y= 
，
∴tan∠AOB= 
= 
= 
，
∴∠AOB=30°；
（3）
解：作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，
∵AP=AB，MQ∥AN
∴∠APB=∠ABP=∠MQP．
∴MP=MQ，
∵BN=PM，
∴BN=QM．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴EQ= 
PQ．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，
，
∴△MFQ≌△NFB（AAS）．
∴QF= QB，
∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB，
由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，
∴PB= 
=4 
，
∴EF= PB=2 ，
∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2 ．
【解析】（1）设OB=OP=DC=x，则DP=x﹣4，在Rt△ODP中，根据OD2+DP2=OP2 ， 解得：x=10，然后根据△ODP∽△PCA得到AC= =3，从而得到AB=5，表示出点A（10，5）；（2）根据点P恰好是CD边的中点设DP=PC=y，则DC=OB=OP=2y，在Rt△ODP中，根据OD2+DP2=OP2 ， 解得：y= ，然后利用△ODP∽△PCA得到AC= = ，从而利用tan∠AOB= 得到∠AOB=30°；（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ= PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF= QB，再求出EF= PB，由（1）中的结论求出PB，最后代入EF= PB即可得出线段EF的长度不变．
