题目内容
【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，弦ED⊥AB于点F，点C是劣弧AD上的动点（不与点A、D重合），连接BC交ED于点G．过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．
（1）求证：PC=PG；
（2）当点G是BC的中点时，求证：
；
（3）已知⊙O的半径为5，在满足（2）的条件时，点O到BC的距离为
，求此时△CGP的面积．
【答案】(1)证明详见解析；(2)证明详见解析；(3)10.
【解析】
试题分析：（1）连结OC，根据切线的性质得OC⊥PC，根据余角的性质得到∠B=∠OCG，等量代换得到∠PCG=∠BGF，根据对顶角相等得∠BGF=∠PGC，于是得到∠PGC=∠PCG，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）连结OG，由点G是BC的中点，根据垂径定理的推论得OG⊥BC，BG=CG，根据相似三角形的性质得到
，等量代换得到结论；
（3）连结OE，OG=OG=
，在Rt△OBG中，利用勾股定理计算出BG=
，再利用可计算出BF，从而得到OF=1，根据三角形的面积公式即可得到结论．
试题解析：（1）连结OC，如图，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCG+∠PCG=90°，
∵ED⊥AB，
∴∠B+∠BGF=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCG，
∴∠PCG=∠BGF，
而∠BGF=∠PGC，
∴∠PGC=∠PCG，
∴PC=PG；
（2）解：CG、BF、BO三者之间的数量关系为
．理由如下：
连结OG，如图，
∵点G是BC的中点，
∴OG⊥BC，BG=CG，
∴∠OGB=90°，
∵∠OBG=∠GBF，
∴Rt△BOG∽Rt△BGF，
∴BG：BF=BO：BG，
∴，
∴；
（3）解：连结OE，如图，
由（2）得OG⊥BC，
∴OG=，
在Rt△OBG中，OB=5，
∴BG=
=，
由（2）得BG2=BOBF，
∴BF=
=4，
∴OF=1，
∴FG=
=2，
过P作PH⊥BC于H，
∵PC=PG，
∴GH=
CG=BG=，
∵∠PHG=∠BFG=90°，∠BGF=∠DGH，
∴△BFG∽△PHG，
∴
，即
，
∴PH=，
∴△CGP=CGPH=××=10．
