Question

【题目】在矩形ABCD中，点E为AD的中点，连接BE、AC，AC⊥BE于点F，连接DF，对于结论①CF=2AF②△AEF∽△CAB③DF=DC④tan∠CAD=正确的有_______________．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可判断②正误；由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出AE和CF的关系即可判断①正误；只要证明DM垂直平分CF，即可证明③；设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，求出a和b的关系，可得tan∠CAD的值即可判断④的正误，

解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故②正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE=AD=BC，
∴，
∴CF=2AF，故①正确；
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确；
设AE=a，AB=b，则AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有，即，
∴tan∠CAD=．故④不正确；
∴正确的有①②③；

故答案为：①②③.