Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+1过A（1，0）、B，（5，0）两点．

（1）求：抛物线的函数表达式；
（2）求：抛物线与y轴的交点C的坐标及其对称轴
（3）若抛物线对称轴上有一点P，使△COA∽△APB，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx+1过A（1，0）、B，（5，0）两点，

∴ ，解得 ，

∴抛物线的函数表达式为y= x2﹣ x+1

（2）

解：在y= x2﹣ x+1中，令x=0可得y=1，

∴C点坐标为（0，1），

又y= x2﹣ x+1= （x﹣3）2﹣ ，

∴抛物线对称轴为直线x=3

（3）

解：∵A（1，0），C（0，1），

∴OA=OC=1，

∴△COA为等腰直角三角形，且∠COA=90°，

∵△COA∽△APB，

∴△APB为等腰直角三角形，∠APB=90°，

∵P在抛物线对称轴上，

∴P到AB的距离= AB= ×（5﹣1）=2，

∴P点坐标为（3，2）或（3，﹣2）

【解析】（1）把A、B两点坐标代入，可求得a、b的值，可求得抛物线的函数表达式；（2）根据（1）中所求抛物线的解析式可求得C点的坐标，及对称轴；（3）由A、C点的坐标可判定△COA为等腰直角三角形，若△COA∽△APB，可知△APB为等腰直角三角形，利用直角三角形的性质可求得P到x轴的距离，可求得P点坐标．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质和相似三角形的性质，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形即可以解答此题．